Tengo una pregunta sobre cómo tratar una derivada parcial para una función en la que una o más variables son dependientes entre sí
por ejemplo: $q = K^aL^b$ y sugiriendo que quieres encontrar el MPL pero también afirmar que $K(L)$ o $K$ es una función de $L$.
Estoy pensando que podría ser algo así como $q = ab(K(L))^{a-1}L^{b-1}$ pero no estoy seguro.
Gracias de antemano
Si tienes una función
$q = K(L)^a L^b$,
entonces por las reglas del producto y de la cadena, la derivada usual de $L$ es
$\frac{\partial q}{\partial L} = a K(L)^{a-1} K’(L) L^b + b K(L)^a L^{b-1}$
Si quisieras encontrar el nivel óptimo de $L$ para esta función (ya que $L$ determina $K$) harías el procedimiento anterior.
No diferenciarías con respecto a $K$ ya que una vez encuentres el nivel óptimo de $L$, llamémoslo $L^\star$, ya sabes el nivel óptimo de $K$, llamémoslo $K^\star$, por la relación $K^\star = K(L^\star)$.
Además, la derivada parcial usual con respecto a $K$ no está definida en el caso anterior ya que $K$ no es una variable "puramente" independiente.
Sin embargo, existe algo llamado derivadas formales, en las cuales se ignoraría la dependencia entre las variables usadas como argumentos de la función.
En este caso, las derivadas formales serían
$\frac{\partial q}{\partial L} = b K^a L^{b-1}$
$\frac{\partial q}{\partial K} = a K^{a-1} L^b$
Este concepto de derivada formal se usa en la ecuación de Euler-Lagrange de Cálculo de Variaciones.
Ya sea que tomes las derivadas parciales reales o las formales depende de lo que quieras lograr.
Como regla general, si no te dicen que uses derivadas formales, toma las derivadas parciales usuales.
La ecuación de Euler-Lagrange es
$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y’} = 0$
donde las derivadas parciales se toman como derivadas formales.
Esta ecuación se usa para encontrar una función continuamente diferenciable $y = y(x)$ (sobre un intervalo $[a,b]$), que maximiza o minimiza el siguiente funcional (una función cuyo argumento es una función y devuelve un número real/complex):
$J[y(x)] = \int_{a}^{b} f(x,y(x),y’(x)) dx$
Aquí $f$ es dos veces diferenciable en cada uno de sus tres argumentos, y el funcional $J[y]$ mapea $J:C^{1}[a,b] \to \mathbb{R}$.
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