¿Cómo se resuelve la demanda óptima del comerciante en un mercado similar al modelo de Kyle?

Question

Supongamos que $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ es un espacio de probabilidad estándar y $Z_t=(Z_t^1,Z_t^2)$ es un movimiento browniano bidimensional con la filtración $\mathcal{F}^Z_{t}$ y $Z_t^1$ , $Z_t^2$ están correlacionados con $\rho\in(-1,1)$ . Sea $\mathcal{E}_t$ la dotación de un comerciante con la siguiente dinámica

$$d\mathcal{E}_t=\mu_1 dt + \sigma_1 dZ^1_t$$

La utilidad del inversor es cóncava y creciente con respecto a su demanda $\alpha_t$ en cualquier $t\in [0, T]$ y para simplificar el problema supondremos que $\forall t\in [0,T]$ el comerciante no tiene ninguna restricción presupuestaria y puede reasignar su demanda con respecto a un activo de riesgo $V$ que se utiliza para cubrir su dotación $\mathcal{E}_t$ con la siguiente dinámica

$$dV_t = \mu_2 dt + \sigma_2 dZ^2_t $$

la posición del comerciante es

$$W_t = \mathcal{E}_t+\alpha_t (P_t - V_t)$$

donde $P_t$ representa el precio del activo de riesgo $V$ en la fecha $t$ cuando la demanda del comerciante sea $\alpha_t$ y $P_t$ es $F_t^Z$ -adaptado. La utilidad esperada será

$$\mathbb{E}(U(\mathcal{E}_{t}+\alpha_{t} (P_{t} - V_{t}))|F_0^Z)$$

En cualquier $t\in [0,T]$ existen también comerciantes ruidosos que tienen demandas aleatorias e inelásticas al precio y denotamos por $B_t$ sus pedidos acumulados en cualquier $t$ y supongamos que $B$ también es un $\mathcal{F}^Z_{t}$ -movimiento browniano adaptado que es independiente de $Z=(Z^1,Z^2)$ . Por lo tanto, el pedido total es

$$Y_t = B_t + \alpha_t$$

donde $\alpha$ es la demanda del comerciante y la dinámica de precios es

$$P_{t} = \mathbb{E}(V_{t}|Y_{t})$$

donde (creo que) la dinámica de precios se asemeja a la hipótesis de eficiencia del mercado como en Kyle 1985. Obsérvese aquí que el comerciante sabe $P_t$ cuando negocia y que el creador de mercado no puede designar la orden $\alpha$ de $B$ y por lo tanto no puede saber con exactitud la orden del comerciante.

¿Cómo podría alguien resolver la demanda óptima $\alpha_t^*$ tal que

$$\alpha^*=\operatorname{argmax}\{\mathbb{E}(U(\mathcal{E}_{T}+\alpha_{T} (P_{T} - V_{T}))|F_0^Z)\}$$ cuando $(t,\alpha_t,V_t) \in \mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ ?

$\mathbb{Remark:}$ A diferencia del modelo clásico de Kyle, existe una dotación $\mathcal{E}$ que se refiere también a las necesidades de cobertura del operador. Más concretamente, el operador dará una orden $a^*$ no sólo por su ventaja informativa (que quiere explotar) sobre la dinámica del $V$ sino también en función de sus necesidades de cobertura, lo que dificultaría que el creador de mercado obtuviera la información (privada) que el operador posee sobre $V$ en cualquier $t\in[0,T]$ incluso en el caso de que no existan operadores de ruido.

Answer 1

Conocimientos genéricos sobre este tipo de modelos

Déjame intentar acercar tu modelo a elementos conocidos:

1. Tiempo continuo Modelo de Kyle es algo que se resuelve en Çetin, Umut y Albina Danilova. " Equilibrio markoviano de Nash en mercados financieros con información asimétrica y sistemas forward-backward relacionados ." (2016): 1996-2029.
   Este modelo comparte muchas de sus características:

   • el comerciante informado observa el valor de un activo $\cal E$
   • puede negociarlo para optimizar su PnL en $T$
   • frente a un Creador de Mercado (MM) que no ve el verdadero valor de $\cal E$ sino que observa el flujo $\alpha dt$ (¡misma notación que la suya!) del comerciante informado, la se mezcla con la demanda de las operaciones de ruido
   • de ahí que la MM "vea" una difusión con una deriva controlada: $dY = \alpha dt + \sigma dB$ .
   • el MM tiene una función de utilidad CARA (que es más general que su expectativa condicional)
   • la diferencia es que el operador informado no dispone de otro instrumento $V$ al comercio, pero esto ya es complicado
   • algo que no define correctamente en su modelo es cómo el creador de mercado y el operador informado comparten (o no) información; en su artículo, Cetin y Dsnilova tienen que utilizar un puente browniano .
     Si quieres. hacer algo como ellos, tienen un gran libro sobre este tema: Çetin, Umut, y Albina Danilova. Puentes dinámicos de Markov y microestructura del mercado: Teoría y Aplicaciones . Vol. 90. Springer, 2018.

2. Ejecución óptima con cobertura es otra historia y se centra en negociar simultáneamente $\cal E$ y $V$ para cubrir parte del riesgo de mercado del instrumento más líquido ( $V$ para ti). Hay este documento que muestra cómo hacerlo en una cartera: Lehalle, Charles-Albert. " Comercio estratégico riguroso: Cartera equilibrada y reversión a la media ." El Diario del Comercio 4, no. 3 (2009): 40-46.

   • se trata de una cartera completa: el inversor negocia todos los componentes de la cartera que están correlacionados y no tienen todos la misma liquidez
   • pero se hace dentro de un marco "Almgren-Chriss", que es discreto y no se adapta realmente bien al suyo (o al de Cetin-Danilova).

Mi consejo sería utilizar un marco Cartea-Jaimungal y escribir su comercio óptimo con un instrumento correctamente. No es muy difícil (lo di en uno de mis exámenes, de ahí que prefiero no escribir la solución completa allí...), pero mezclarlo con Cetin y Danilova puede ser tricky....

Inicio del análisis: el modelo de un período

Permítame ayudarle en el contexto de un modelo de un período.

El mecanismo de la prueba debería ser éste

1. necesita elegir una función de fijación de precios para su creador de mercado (MM), permítame utilizar la notación $f_\theta(\alpha)$ donde $\theta$ son los parámetros de la función de fijación de precios.
   Si quieres inspirarte, puedes echar un vistazo a Lehalle, Charles-Albert, Eyal Neuman y Segev Shlomov. " Transiciones de fase en el modelo de Kyle con incentivos a los creadores de mercado ." arXiv preprint arXiv:2103.04481 (2021) donde se utiliza una red neuronal (y resultados teóricos aportados).

2. permítanme sustituir la función genérica CARA por la cuenta de caja del comerciante informado, que desea maximizar $$\mathbb{E}((Q_0-\alpha){\cal E} + \alpha (f_\theta(\alpha)-V)).$$ Dejo que lo compruebes: puede liquidar su posición (de tamaño $Q_0-\alpha$ ) en el valor inicial y el valor de la posición restante $\alpha$ está claro.

3. Para maximizarlo basta con encontrar $\alpha^*$ tal que $$f_\theta(\alpha^*)+\alpha^*f_\theta'(\alpha^*)=V-{\cal E}.$$ Esto no es más que la derivada de la expresión superior con respecto a $\alpha$ .

4. Ahora tienes una relación entre $\alpha^*$ y $(\theta,{\cal E})$ que es de primordial importancia en este tipo de juego (se trata de una especie de juego de Stackelberg, véase Vasal, Deepanshu, y Randall Berry. " Ecuación maestra para juegos de campo medio de Stackelberg en tiempo discreto con un único líder ." En 2022 IEEE 61st Conference on Decision and Control (CDC), pp. 5529-5535. IEEE, 2022).

5. Esta relación debe reinyectarse en el modelo de fijación de precios $P=\mathbb{E}(V|B+\alpha)$ dando lugar a algo como $$P=f_\theta(\alpha^*(\theta,{\cal E}))=\mathbb{E}(V|B+\alpha^*(\theta,{\cal E})).$$ Esta es la fórmula en $\theta$ de una regresión de $V$ en $\alpha$ .

6. normalmente intentas llegar allí una regresión de $\cal E$ en $\alpha$ y no de $V$ en él.

Conclusión y consejos

Espero que entienda que hay muchos conocimientos y literatura sobre este tema. Deberías leer más sobre ello antes de atacar tu problema: estoy seguro de que la lectura te dirá cómo modificar tu problema para que refleje lo que realmente quieres. No estoy seguro de que en este momento sea realmente así.