Maximización de la función de producción CD

Question

Estaba leyendo el artículo "Optimal Investment Under Uncertainty" (Abel, 1982). En un momento dado, el autor aborda el siguiente problema:

$$\max_{L_{t}}\left\{ p_{t}L_{t}^{\alpha}K_{t}^{1-\alpha}-wL_{t}\right\}=hp_{t}^{\frac{1}{1-\alpha}}K_{t}$$

Dónde:

$$h=(1-\alpha)\left(\frac{\alpha}{w}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$$

He intentado resolver la primera derivada con respecto a L y volver a sustituir el resultado en la función de producción (función de producción indirecta), pero no consigo obtener el resultado ( $hp_{t}^{\frac{1}{1-\alpha}}K_{t}$ ). ¿Puede alguien explicarme cómo proceder?

https://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1206&context=fnce_papers

*Pág. 4

Answer 1

La condición de primer orden para el problema es

$$ w = \alpha p_t \left(\frac{K_t}{L_t^*}\right)^{1-\alpha}, $$ donde la estrella indica la variable de control elegida de forma óptima. Resolver para $L_t^*$

$$ L_t^* = \left(\frac{\alpha}{w}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}p_t^{\frac{1}{1-\alpha}}K_t $$ y observe que por definición $\max_x f(x) = f(x^*)$ para cualquier función objetivo $f$ (siempre que exista el máximo). Introduciendo la expresión anterior para $L_t^*$ en la función objetivo obtendrá

\begin{align} p_t &\left(\frac{\alpha}{w}\right)^{\frac{\alpha}{1 - \alpha}}p_t^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}K_t^\alpha K_t^{1 - \alpha} - w\left(\frac{\alpha}{w}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}p_t^{\frac{1}{1-\alpha}}K_t\\ &=\left(\frac{\alpha}{w}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}p_t^{\frac{1}{1-\alpha}}K_t - \alpha \left(\frac{\alpha}{w}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}p_t^{\frac{1}{1-\alpha}}K_t\\ &=(1 - \alpha) \left(\frac{\alpha}{w}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}p_t^{\frac{1}{1-\alpha}}K_t \\ &= hp_t^{\frac{1}{1-\alpha}}K_t. \end{align}

Answer 2

Reescribo el problema de maximización (omito el subíndice $t$ ):

$$\max_{L}\left\{ pL^{\alpha}K^{1-\alpha}-wL\right\}\quad (1)$$

Tomar la derivada con respecto a $L$ de la expresión en $(1)$ e igualándolo a cero
que tenemos:

$$\alpha pL^{\alpha-1}K^{1-\alpha} -w=0\qquad (2)$$

de la que tenemos

$$L^{\alpha-1}= (\frac {w}{\alpha p}) K^{\alpha-1}$$

de ahí

$$L= \left(\frac {w}{\alpha p}\right)^{\frac{1}{\alpha -1}}K\qquad (3)$$

Sustituyendo $(3)$ en la función a maximizar en $(1)$ produce

$$\max_{L}\left\{ pL^{\alpha}K^{1-\alpha}-wL\right\}= p(\frac{\alpha p}{w})^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}K^{\alpha} K^{1-\alpha} -w (\frac{\alpha p}{w})^{\frac{1}{1-\alpha}} K= $$ $$p(\frac{\alpha p}{w})^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}K - w (\frac{\alpha p}{w})^{\frac{1}{1-\alpha}} K= $$ $$=p^{\frac{1}{1-\alpha}} (\frac{\alpha }{w})^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}K -p^{\frac{1}{1-\alpha}}w (\frac{\alpha }{w})^{\frac{1}{1-\alpha}} K=$$ $$=p^{\frac{1}{1-\alpha}}K [(\frac{\alpha}{w})^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}-\alpha \frac{\alpha ^{\frac{1}{1-\alpha}} \frac{1}{\alpha}}{w ^{\frac{\alpha }{1-\alpha}}}]=$$ $$ = p^{\frac{1}{1-\alpha}}K [(\frac{\alpha}{w})^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}- \alpha (\frac{\alpha}{w}) ^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}]=$$ $$ = p^{\frac{1}{1-\alpha}} K(\frac{\alpha}{w})^\frac{\alpha}{1-\alpha}(1-\alpha) =$$

$$= hp^{\frac{1}{1-\alpha}}K$$