Derivación de las ponderaciones óptimas de la cartera utilizando el método de presupuestación de riesgos

Question

En el libro de Thierry Roncalli Introducción a la paridad de riesgos y la presupuestación (2013), pone un ejemplo de soluciones particulares a la cartera de Presupuestos de Riesgo como para el $n=2$ caso de activos.

Las contribuciones de riesgo son:

$$ \frac{1}{\sigma(x)} \cdot \begin{bmatrix} w^2\sigma_1^2 + \rho w(1-w) \sigma_1 \sigma_2 \\ (1-w)^2\sigma_2^2 + \rho w(1-w) \sigma_1 \sigma_2 \\ \end{bmatrix} $$

El vector $[b,1-b]$ son los presupuestos de riesgo.

Presenta el peso óptimo $w$ como:

$$ w^* = \frac {(b - \frac{1}{2}) \rho \sigma_1\sigma_2 - b\sigma_2^2 +\sigma_1\sigma_2\sqrt{(b - \frac{1}{2})^2\rho^2 + b(1-b)}} {(1-b)\sigma_1^2 - b\sigma_2^2 + 2(b - \frac{1}{2})\rho\sigma_1\sigma_2} $$

¿Cómo se obtienen estas ponderaciones? No necesito una derivación completa (aunque sería útil), simplemente no sé cómo se obtienen.

¿Se hace fijando las contribuciones de riesgo iguales a los presupuestos?

$$ \begin{bmatrix} b \\ 1-b \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{\sigma(x)} \cdot \begin{bmatrix} w^2\sigma_1^2 + \rho w(1-w) \sigma_1 \sigma_2 \\ (1-w)^2\sigma_2^2 + \rho w(1-w) \sigma_1 \sigma_2 \\ \end{bmatrix} $$

Answer 1

Tiene razón en su suposición, esto se especifica al principio de la sección 2.2.1 Definición de una cartera de presupuestación de riesgos.

Consideramos un conjunto de presupuestos de riesgo dados $\{B_1,\dots,B_n\}$ . Aquí $B_i$ es una cantidad de riesgo medida en dólares. Denotamos $\mathcal{RC}_i(x_1,\dots,x_n)$ la contribución al riesgo del activo $i$ con respecto a la cartera $x=(x_1,\dots,x_n)$ . La presupuestación de riesgos queda definida por las siguientes restricciones:

$$ \mathcal{RC}_1(x_1,\dots,x_2)=B_1 \\ \vdots \\ \mathcal{RC}_i(x_1,\dots,x_2)=B_i \\ \vdots \\ \mathcal{RC}_n(x_1,\dots,x_2)=B_n \\ $$

El caso de los dos activos

Podemos reescribir las dos ecuaciones en una fórmula singular resolviendo para $\sigma(x)$ para ambos y eliminando posteriormente $\sigma(x)$ estableciendo las dos formulaciones de $\sigma(x)$ iguales entre sí:

$$ \frac{w^2\sigma_1^2+w(1-w)\rho\sigma_1\sigma_2}{b}= \frac{(1-w)^2\sigma_2^2+w(1-w)\rho\sigma_1\sigma_2}{1-b} $$

Después de reordenar esto se convierte en una (complicada) ecuación cuadrática en $w$ que puede resolverse mediante la fórmula cuadrática . Anulando los términos de la fracción resultante y observando que $0\leq w\leq 1$ (y eliminando así una de las soluciones de la fórmula cuadrática) se debería llegar al óptimo $w^*$ .