Cómo obtener una función de costes cuando una empresa absorbe a otra para formar un monopolio

Question

Supongamos que la empresa 1 tiene una función de producción = min(L1,K1) Y la empresa 2 tiene una función de producción = L^1/2*K^1/2 Oferta total de mano de obra = L1+L2 Capital total =K1+K2 Y la empresa 2 absorbe a la empresa 1
¿Cómo derivar la nueva función de costes? ¿Debería ser equivalente a sumar la función de costes de ambas empresas después de tener en cuenta la minimización de costes? Dado que la empresa 1 tiene rendimientos constantes a escala, me resulta difícil deducirla.

Answer 1

Suponiendo que la empresa es un tomador de precios en el mercado de insumos, podemos determinar la función de costes asociada a la planta 1 y 2 resolviendo el problema de minimización de costes de forma rutinaria, y obtenemos:

• Para $f_1(l_1, k_1) = \min(l_1, k_1)$ la función de coste es $c_1(w,r,q_1) = (w+r)q_1$
• Para $f_2(l_2, k_2) = l_2^{\frac{1}{2}}k_2^\frac{1}{2}$ la función de coste es $c_2(w,r,q_2) = (2\sqrt{wr})q_2$

Evidentemente, el coste marginal de la empresa 2 es siempre inferior o igual al coste marginal de la empresa 1 porque $2\sqrt{wr} \leq w+r$ para todos $w > 0,r > 0$ . Por lo tanto, una de las opciones de minimización de costes para la empresa 2 es seguir utilizando su propia planta y no utilizar la planta de la empresa 1 en ninguna capacidad, independientemente de cuáles sean los precios de los insumos. En otras palabras, la función de costes global es $c(w,r,q) = (2\sqrt{wr})q$ .

Answer 2

Creo que la empresa 2, tras la adquisición de la empresa 1, tendrá dos plantas de producción diferentes. Para encontrar la cantidad y el precio óptimos, ya que se ha convertido en monopolio, debemos encontrar el coste marginal de estas dos plantas y equipararlo al ingreso marginal.

Coste marginal de la empresa 1:

$f(K,L)=min(K,L)$

$K=L=Q$

$TC1=Q\times w+Q\times r=Q\times(w+r)$

$MC1=w+r$

Coste marginal de la empresa 2:

$Q=f(K,L)=L^{0.5}\times K^{0.5} \rightarrow L=Q\times \sqrt{r/w}$

$K=Q\times\sqrt{w/r}$

$TC2= 2\times Q\sqrt {w\times r}$

$MC2=2\times \sqrt {w\times r}$

Debido a $2\times \sqrt {w\times r}<w+r$ de producción de la primera empresa hasta que $MC1=MR=(P\times Q)(dTR/dQ)$ Y una vez superado esto, la producción restante debe ser retenida por la segunda instalación hasta que $MC2=MR$

Gracias @Amit por la corrección. Olvidé derivar las funciones de demanda.