La fórmula de la trayectoria de expansión

Question

¿Hay alguna forma de calcular con precisión la trayectoria de expansión?

Conozco la función de utilidad de un consumidor $U(\boldsymbol{x})$ Conozco la restricción presupuestaria $\sum P_i x_i \leq M$ soy capaz de calcular las demandas marshallianas $\boldsymbol{D}(\boldsymbol{P}, M)$ Por lo tanto, soy capaz de ganar el punto óptimo para cualquier precio e ingreso dados.

Si grafico esto, utilizando controles deslizantes, puedo observar cómo se mueve el punto óptimo con los cambios en un solo precio. Este movimiento, sin embargo, parece estar en una curva, la vía de expansión . ¿Hay alguna forma de calcularlo analíticamente? ¿Sería la diferenciación de las demandas un enfoque razonable o es demasiado ingenuo?

$\qquad \qquad x_1^{EP} = \frac{\partial D_1(\boldsymbol{P}, M)}{\partial P_1} \qquad \qquad x_2^{EP} = \frac{\partial D_2(\boldsymbol{P}, M)}{\partial P_1}$

¿Cuál sería el siguiente paso? Se trataría de dos variables pero me gustaría enchufarlo en una sola curva...

¿O existe otro enfoque?

EDITAR: La ruta de expansión que busco también se llama precio curva de consumo en la literatura. Sin embargo, pude encontrarlo encajando algunos puntos (véase la ilustración siguiente), cómo puedo encontrar esto analíticamente ?

Answer 1

La respuesta depende de lo que entienda por " cálculo de la trayectoria de expansión ".

Variante (i): Para fijos $p_2$ y $M$ se desea calcular los puntos óptimos $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2)$ en función de $p_1$ .

Eso es fácil: $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{D}(p_1,p_2,M)$ .

Variante (ii): Para fijos $p_2$ y $M$ se desea calcular el $x_2$ -componente de los puntos óptimos $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2)$ en función de $x_1$ .

Esto necesita algo de trabajo: Se le dan las funciones $x_1=D_1(p_1,p_2,M)$ y $x_2=D_2(p_1,p_2,M)$ . A partir de la ecuación para $x_1$ exprés (si es posible) $p_1$ en función de $p_1=P_1(x_1,p_2,M)$ y sustituir por $p_1$ en $D_2$ para obtener $x_2=D_2(P_1(x_1,p_2,M),p_2,M)$ . Para fijos $p_2$ y $M$ esto da $x_2$ en función de $x_1$ cuyo gráfico es la curva roja en $x_1$ - $x_2$ -espacio.

Answer 2

Se calcula fijando $MRS$ es igual a los precios relativos:

$\frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}} = \frac{p_x}{p_y}$ ,

resolver una variable en función de la otra.

Answer 3

Como ya ha dicho VARulle, basta con calcular la demanda marshalliana de sus bienes, fijar sus ingresos y limitarse a variar los precios.

Para ilustrar las preferencias de Cobb Douglas $U(x_1,x_2)=x_1^\alpha x_2^{1-\alpha}$ las demandas marshallianas de $x_1$ y $x_2$ son: $$x_1(p_1,m)=\frac{\alpha m}{p_1}, x_2(p_1,m)=\frac{(1-\alpha)m}{p_2}$$

todo lo que necesitas hacer es sostener $m$ constante para ver la forma de estas trayectorias de expansión de "cambio de precio único".