¿Tiene la medida Arrow-Pratt un límite inferior con utlidad DARA?

Question

Digamos que tengo la siguiente función de utilidad:

$$u(x,w)=f(w+x)$$

Esta utilidad muestra una aversión al riesgo absoluta decreciente ( $f'>0$ , $f''<0$ y $f'''>0$ ). $x\in R_+$ es la variable de control y $w\in R_+$ es un parámetro exógeno.

¿Existe una forma paramétrica de $f$ para lo cual $A(x)>\frac{1}{x}$ ?

Dónde $A(x)=\frac{-f''}{f'}$ es la medida Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo. No consigo encontrar dicha función, lo que me hace pensar que tal vez la medida de Arrow-Pratt tenga un límite inferior cuando la utilidad es DARA.

Muchas gracias.

Answer 1

Vale, creo que la respuesta es no. No existe una función de utilidad que satisfaga DARA tal que $A(x)>\frac{1}{x}$ para todos $x\in R_+$ .

Para demostrarlo, supongamos que tal función existe. Entonces, debe existir $a\in R_+$ tal que: $$\frac{-f''}{f'}>\frac{1}{x}\Leftrightarrow\frac{-f''}{f'}-\frac{1}{x}-a=0$$ Si reordenamos un poco esta función tomando $y=x+w$ tenemos: $$-\frac{f''(y)}{f'(y)}=\frac{1+a(y-w)}{y-w}\qquad\text{(1)}$$ La expresión (1) es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden. Resolviéndola (aquí perdonen mi pereza, he utilizado Wolfram ) da: $$f(y)=\int_1^{y}exp\bigg(\int_{1}^{\phi}\frac{a(\rho-w)+1}{w-\rho}d\rho\bigg)c_1d\phi+c_2$$ Tomando la derivada de $f$ obtenemos: $$f'(y)=exp\bigg(\int_1^{y}\frac{a(\rho-w)+1}{w-\rho}d\rho\bigg)c_1$$ Así que tenemos la condición $f'>0$ siempre que $c_1>0$ . Tomando la derivada de segundo orden de $f$ , obtenemos: $$f''(y)=\frac{a(y-w)+1}{w-y}exp\bigg(\int_1^{y}\frac{a(\rho-w)+1}{w-\rho}d\rho\bigg)c_1$$ Esta expresión es negativa si y sólo si: $$\frac{a(y-w)+1}{w-y}>0$$ Utilizando el hecho de que $x=y-w$ : $$-\frac{1+ax}{x}>0\Leftrightarrow x<-\frac{1}{a}$$ Tenemos una contradicción -- si no cometí ningún error en los cálculos -- no existe una función de utilidad DARA donde $A(x)>\frac{1}{x}$ para todos $x\in R_+$ .