Función de oferta de una empresa que adopta precios con una función de producción cuadrática

Question

Para una empresa con la función de producción $$Q = 40L-L^2$$ donde $L$ es la mano de obra y el salario $w = 20$ hallar la función de oferta de una empresa que adopta un precio en condiciones de competencia perfecta. Los costes fijos son iguales a $10$ .

Siguiendo preguntas similares en este foro, he probado el Lagrangiano: \begin{align*} &\Phi = 20L + 10 - \lambda(40L-L^2 - Q)\\ &\frac{\partial\Phi}{\partial L} = 20 - \lambda(40-2L)\Rightarrow\lambda=\frac{1}{2}+\frac{10}{L} \end{align*} pero esto no parece llevar a ninguna parte.

Sé que la competencia perfecta implica que no hay beneficios y $P=MC$ pero ¿cómo puedo expresar $MC=\frac{\partial TC}{\partial Q}$ en términos de $Q$ si no puedo llegar a $TC$ ? ¿Existe siquiera una forma de expresar $TC$ en función de $Q$ ?

Answer 1

La función de beneficios de la empresa viene dada por $\Pi = PQ-TC = PQ - VC - FC = P(40L - L^2) - 20L - 10 = 40PL-PL^2-20L-10$

Así que nuestro problema de optimización es

$\max_L \Pi = 40PL-PL^2-20L-10$

Se trata de un problema de optimización sin restricciones de una sola variable con una función objetivo cóncava, por lo que simplemente fijamos $\frac{d\Pi}{dL} = 0$ .

$\frac{d\Pi}{dL} = 40P-2PL-20=0 \implies 40P - 20 = 2PL \implies L^\star = \frac{40P-20}{2P} = \frac{20P-10}{P} = 10 \cdot \frac{2P-1}{P}$

Introduciendo la mano de obra óptima en la función de producción,

$Q^s = 40L^\star - (L^\star)^2 = 40 \cdot 10 \cdot \frac{2P-1}{P} - (10 \cdot \frac{2P-1}{P})^2 = 400 \cdot \frac{2P-1}{P} - 100 \frac{(2P-1)^2}{P^2} = \frac{400P(2P-1)-100(2P-1)^2}{P^2} = \frac{800P^2-400P-100(4P^2-4P+1)}{P^2} = \frac{800P^2-400P-400P^2+400P-100}{P^2} = \frac{400P^2-100}{P^2}= 100 \cdot \frac{4P^2-1}{P^2}$

Por lo tanto, la curva de oferta de la empresa viene dada por

$Q^s(P) = 100 \cdot \frac{4P^2-1}{P^2}$

Obsérvese que esta expresión puede ser negativa cuando $P<\frac{1}{2}$ en cuyo caso la oferta real sería $Q^s = 0$ .

Teniendo en cuenta esta salvedad, la curva de oferta viene dada por

$$ Q^s(P)= \begin{cases} 100 \cdot \frac{4P^2-1}{P^2}, P \geq \frac{1}{2}\\ 0, P < \frac{1}{2}\\ \end{cases} $$