En la nota de Kruger, el proceso de derivación de TVC se expresa como:
$0=lim_{t \rightarrow \infty} \beta^t U'(f(k_t)-k_{t+1})k_{t+1}=lim_{t \rightarrow \infty} \beta^{t-1} U'(f(k_{t-1})-k_{t})k_{t} =lim_{t \rightarrow \infty} \beta^{t-1}\beta U'(f(k_{t})-k_{t+1})f'(k_t)k_{t}=lim_{t \rightarrow \infty} \beta^{t} U'(f(k_{t})-k_{t+1})f'(k_t)k_{t}$
La tercera ecuación es de Euler.
Pero, ¿cómo puedo derivar de la primera la segunda ecuación?
$lim_{t \rightarrow \infty} \beta^t U'(f(k_t)-k_{t+1})k_{t+1}=lim_{t \rightarrow \infty} \beta^{t-1} U'(f(k_{t-1})-k_{t})k_{t}$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Pero, ¿cómo puedo derivar de la primera la segunda ecuación? $lim_{t \rightarrow \infty} \beta^t U'(f(k_t)-k_{t+1})k_{t+1}=lim_{t \rightarrow \infty} \beta^{t-1} U'(f(k_{t-1})-k_{t})k_{t}$
Se puede observar que el segundo lado de la ecuación no es más que una reetiquetación del primer lado, donde $t$ se sustituye por $t-1$ por lo que en realidad son la misma ecuación.
En el segundo lado de la ecuación tenemos $lim_{t \rightarrow \infty}$ aunque, reetiquetando, se podría pensar que debería ser $lim_{(t-1) \rightarrow \infty}$ . Pero es lo mismo, como $(t-1) \rightarrow \infty \Leftrightarrow t \rightarrow \infty$ ( $-1$ es un número fijo, por lo que $t$ debe llegar hasta el infinito).
