¿Cuál es la restricción presupuestaria cuando suponemos una función de utilidad común?

Question

Consideremos una economía de intercambio con dos consumidores idénticos. La función de utilidad común función de utilidad común es: $$u^i (x_1, x_2) = x_1^ x_2^{1-} \;\;\; \text{for} \;\;\; 0 < < 1.$$

La sociedad tiene 10 unidades de $x_1$ y 10 unidades de $x_2$ en total. Tenemos que encontrar dotaciones $e_1$ y $e_2$ y Walrasian precios de equilibrio que soportarán como una Asignación de Equilibrio Walrasiana el asignación de igual división que da a ambos consumidores el paquete $(5,5)$ .

Ahora bien, no entiendo por qué se nos pide que encontremos dotaciones cuando se supone que se dan inicialmente en esta economía de intercambio. ¿Qué implica aquí la función de utilidad común?

En la solución, derivamos la función de demanda del primer consumidor que asumió la restricción presupuestaria:

$$ \max x_1^ x_2^{1-} \;\;\; \text{s.t.} \;\;\; x_1 + p + x_2 = e_1 + pe_2.$$

¿Por qué suponemos que la renta del consumidor es $e_1 + pe_2$ ¿y por qué multiplicar por precios sólo el segundo bien? ¿Normalizamos aquí?

Answer 1

Función de utilidad común significa: Aquí las funciones de utilidad de los dos consumidores tienen la misma forma: $u_i (x_i, y_i) = x_i^\alpha y_i^{1-\alpha}$ donde $0 < \alpha< 1$ y $i\in\{1,2\}$ La sociedad ha $10$ unidades de X y $10$ unidades de Y. y hay que encontrar una asignación de dotación y los precios de equilibrio walrasianos que apoyen como asignación de equilibrio walrasiano la asignación de igual división, es decir, el paquete $((5,5),(5,5))$ .

Una forma de resolver este problema es elegir la asignación objetivo como asignación de su dotación: $(e_1,e_2)=((5,5),(5,5))$ compruebe ahora que los precios $(p_X,p_Y) = (\alpha,(1-\alpha))$ lo apoyará como asignación de equilibrio.

Answer 2

La restricción presupuestaria no está causada por la función de utilidad. De hecho, normalizamos uno de los precios. Los precios son relativos, por lo que siempre se puede seleccionar un bien como numerario y normalizar su precio a 1.