Encontrar equilibrios walrasianos cuando las demandas walrasianas no son únicas

Question

Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio:

Encuentre los equilibrios walrasianos para una economía de intercambio puro en la que los ( $A$ y $B$ ) y las dotaciones vienen dadas por:

$u_A = x_A + y_A$

$u_B = 2 x_A + y_A$

$(\omega_{xA},\omega_{yA}) = (\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

$(\omega_{xB},\omega_{yB}) = (\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

Creo que los parámetros específicos para las funciones lineales y las dotaciones son necesarios para mi tema de las demandas no únicas, por eso los incluí.

Calculé las demandas de ambas utilidades como es habitual para las funciones lineales, habiendo fijado $p_x = 1$ .

Las demandas que obtuve (después de sustituir las dotaciones) son:

Agente $A$ :

• $p_y > 1$

$x_A^\star = \frac{1 + p_y}{2}, y_A^\star = 0$

• $p_y < 1$

$x_A^\star = 0, y_A^\star = \frac{1 + p_y}{2 p_y}$

• $p_y = 1$

$x_A^\star \in [0,1], y_A^\star = 1 - x_A^\star$

Agente $B$ :

• $p_y > \frac{1}{2}$

$x_B^\star = \frac{1+p_y}{2}, y_B^\star = 0$

• $p_y < \frac{1}{2}$

$x_B^\star = 0, y_B^\star = \frac{1+p_y}{2 p_y}$

• $p_y = \frac{1}{2}$

$x_B^\star \in [0,\frac{3}{4}], y_B^\star = \frac{3}{2} - 2 x_B^\star$

A continuación, trazo un $\mathbb{R}^+$ rayo para $p_y$ con las demandas por casos, teniendo en cuenta las dos particiones diferentes generadas por $A$ y $B$ .

En todos los casos en que $p_y \neq 1$ entiendo que no puede haber ningún equilibrio walrasiano.

No obstante, en caso de que $p_y = 1$ , $A$ no son únicas y conseguiría que ambos mercados estuvieran en equilibrio si eligiera $x_A^\star = 0$ , pero los mercados no estarían en equilibrio si en su lugar eligiera cualquier $x_A^\star \in (0,1]$ .

También lo haría $p_y^\star = 1$ ¿es o no un equilibrio walrasiano?

Sé que hay una forma de mostrar gráficamente las situaciones de equilibrio pero no lo entiendo con funciones lineales donde $MRS$ los argumentos no funcionan.

Agradecería mucho si alguien pudiera apoyar su respuesta con un gráfico de cajas de Edgeworth.

Answer 1

Escribamos primero las funciones de demanda de los individuos $A$ y $B$

$$(x_A^d,y_A^d)(p_x,p_y,m_A)\in\left\{\begin{matrix} (\frac{m_A}{p_x},0) & ,\frac{p_x}{p_y}<1\\ (0,\frac{m_A}{p_y}) & , \frac{p_x}{p_y}>1 \\ BL_A & , \frac{p_x}{p_y}=1 \end{matrix}\right. \\ where, \; BL_A: Budget \; Line \; of \; A$$

de forma similar, $$(x_B^d,y_B^d)(p_x,p_y,m_B)\in\left\{\begin{matrix} (\frac{m_B}{p_x},0) & ,\frac{p_x}{p_y}<2\\ (0,\frac{m_B}{p_y}) &, \frac{p_x}{p_y}>2 \\ BL_B & ,\frac{p_x}{p_y}=2 \end{matrix}\right.$$

Para simplificar nuestro análisis, consideremos $p_y=1$ es decir, que el bien $Y$ sea el numerario. Utilizando el valor de las dotaciones también obtenemos que $m_A=m_B=\frac{p_x}{2}+\frac{1}{2}$

ahora ambas funciones de demanda se convierten en funciones de $p_x$ por lo que necesitamos utilizar estas funciones de demanda y dotaciones totales para $X$ encontrar $p_x^*$ de forma que la demanda del bien $X$ es igual a la dotación total del bien $X$ (oferta de bienes $X$ ).

Las nuevas funciones de demanda son:

$(x_A^d,y_A^d)(p_x)\in\left\{\begin{matrix} (0.5+\frac{0.5}{p_x},0) & ,p_x<1\\ (0,0.5p_x+0.5) & , p_x>1 \\ BL_A & , p_x=1 \end{matrix}\right. \; (x_B^d,y_B^d)(p_x)\in\left\{\begin{matrix} (0.5+\frac{0.5}{p_x},0) & ,p_x<2\\ (0,0.5p_x+0.5) &, p_x>2 \\ BL_B & ,p_x=2 \end{matrix}\right. $

En el mercado de bienes $X$ :

Precio

Demanda de $X$

Suministro para $X$

$p_x<1$

$1+\frac{1}{p_x}(>2)$

$1$

$p_x=1$

$[1,2] (\ni 1)$

$1$

$p_x \in (1,2)$

$0.5+\frac{0.5}{p_x}(<1)$

$1$

$p_x=2$

$[0,0.75] $

$1$

$p_x>2$

$0$

$1$

Por lo tanto, $\boxed{\frac{p_x^*}{p_y^*}=1}$ es la relación de precios de equilibrio que apoya la asignación $\boxed{((0,1),(1,0))}$

Answer 2

Un equilibrio suele definirse como la combinación de un(os) precio(s) y una(s) cantidad(es)/cantidad(es)/asignación.

Aquí $p_y = 1$ , $x_A=0$ , $y_A = 1$ , $x_B=1$ , $y_B=0$ es un equilibrio, $p_y = 1$ es un precio de equilibrio, los consumos definen una asignación de equilibrio.

Esto es cierto aunque dado $p_y = 1$ los consumidores pueden planificar individualmente consumos óptimos que no constituirían un equilibrio en la economía (es decir; $x_A = x_B = 1$ que no es factible).