¿Cómo hallar la curva del contrato cuando un agente tiene utilidad de Leontief?

Question

Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio:

Encuentre la curva de contratos para una economía en la que los ( $A$ y $B$ ) las preferencias y las dotaciones vienen dadas por:

$u_A = x_{1A}^{\frac{1}{2}} x_{2A}^{\frac{1}{2}}$

$u_B = \min\{x_{1B},x_{2B}\}$

$(\omega_{1A},\omega_{2A}) = (\alpha,\beta)$

$(\omega_{1B},\omega_{2B}) = (\beta,\alpha)$

Sé que la curva de contrato en este caso se puede encontrar resolviendo:

• $\max x_{1A}^{\frac{1}{2}} x_{2A}^{\frac{1}{2}}$

sujeto a

$ \min \{x_{1B},x_{2B}\} = \overline{U}$

$x_{1A} + x_{1B} = \alpha + \beta$

$x_{2A} + x_{2B} = \alpha + \beta$

o resolviendo

• $\max \min\{x_{1B},x_{2B}\}$ $(0)$

sujeto a

$x_{1A}^{\frac{1}{2}} x_{2A}^{\frac{1}{2}} = \overline{U}$ $(1)$

$x_{1A} + x_{1B} = \alpha + \beta$ $(2)$

$x_{2A} + x_{2B} = \alpha + \beta$ $(3)$

Sé que las formas habituales de encontrar curvas contractuales son o bien formando una Lagrangiana o como atajo, partir de resolver $MRS_A = MRS_B$ .

Sin embargo, la presencia de una función de Leontief hace que cualquiera de estos problemas no pueda resolverse mediante métodos que impliquen diferenciabilidad (Lagrangiano o atajo MRS).

Creo que este último problema es el más fácil, yo empezaría por establecer $x_{1B} = x_{2B}$ como el procedimiento estándar para resolver un problema de optimización Leontief restringido (ecuación $(0)$ ).

Conozco la ecuación $x_{1B} = x_{2B}$ es una ecuación válida para una curva de contrato. ¿Es ésta ya la curva del contrato?

Lo que me pareció extraño es que obtuve una ecuación válida para una curva de contrato sin siquiera utilizar las restricciones $(1)-(3)$ .

Si no es la curva del contrato, no sabría cómo utilizar la ecuación $(1)$ en $A$ 's utilidad.

Answer 1

En mi opinión, su solución es correcta.

La curva del contrato debe ser tal que $x_{1B} = x_{2B}$ , de lo contrario podría aumentar la utilidad de un consumidor sin disminuir la del otro.

Consideremos el siguiente gráfico, en el que he representado una función de utilidad Leontief genérica de un consumidor $B$ , $u_B = \min\{{ax,by}\}$ y las curvas de indiferencia (convexas) de una función de utilidad diferenciable de un consumidor $A$ .

Los paquetes óptimos para el consumidor $B$ con preferencias Leontief debe estar en la línea de pendiente $a/b$ , $y=\frac {a}{b} x$ donde $ax =by$ .

Y la curva del contrato debe ser esa línea $y=\frac {a}{b} x$ . $^1$

De hecho, si estuviéramos en un punto fuera de la línea $y=\frac {a}{b} x$ como, por ejemplo, $A$ donde el otro consumidor $A$ tiene una utilidad $\overline U$ podríamos ir al punto $C$ donde el consumidor con preferencias de Leontief aumenta su utilidad, y la utilidad del otro consumidor sigue siendo $\overline U$ . Contradiciendo el supuesto de que el consumidor $B$ está maximizando su nivel de utilidad con

$x_{1A}^{\frac{1}{2}} x_{2A}^{\frac{1}{2}} = \overline{U}\;\;\; (1)$ .

Viceversa, viéndolo desde el otro lado, por así decirlo, si se quiere maximizar la utilidad del consumidor $A$ para una curva de indiferencia dada de la función de utilidad de Leontief, debe colocar el paquete en el vértice de dicha curva de indiferencia.

En realidad, está utilizando la ecuación $(1)$ : el supuesto implícito, desde un punto de vista matemático, es que existe una curva de indiferencia del consumidor $A$ (las líneas azules) que pasa por cada vértice de las curvas de indiferencia de Leontief, como puntos $B$ y $C$ lo que está garantizado por la forma de la función de utilidad

$$u_A = x_{1A}^{\frac{1}{2}} x_{2A}^{\frac{1}{2}}$$ .

En otras palabras, la línea roja $y=\frac {a}{b} x$ cruza, en cada punto, una curva de indiferencia del consumidor $A$ .

Y, en general, se utiliza la forma de las curvas de indiferencia del consumidor $A$ . Es decir, no se está maximizando la utilidad para la función de Leontief en el vacío, desde un punto de vista matemático, se utilizan las propiedades de la función de utilidad del consumidor $A$ empezando por el requisito básico de que las funciones se definan cuando sea necesario.

En realidad, nada muy diferente de la maximización con la restricción presupuestaria.

En cuanto a su objeción de que no utiliza, en este caso, las ecuaciones $(1)-(3)$ esto no es del todo cierto, ya que luego se utilizan para encontrar el conjunto de bienes $x_{1A}, x_{2A}$ del consumidor $A$ y el nivel de utilidad correspondiente.

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$^1$ En esta caja de Edgeworth, la curva del contrato no termina, como es habitual, en el punto superior derecho $0_A$ pero creo que es correcta cuando tenemos preferencias de Leontief: una vez que el consumidor $B$ está en la línea vertical derecha, la utilidad del consumidor $B$ no puede aumentar, está "frenada" por la dotación total de bienes $x$ .