En mi libro se dice que bajo monotonocidad estricta, la derivada de U(x*)=0 puede ser posible aunque es poco probable que ocurra.
¿Qué significa esto exactamente?
Respuestas
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Joe M
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66
Generalizo la respuesta anterior a una función $U(x), x\in \mathbb {R^n}$ de varias variables, interpretando $U'(x)$ como el gradiente (el vector de derivadas parciales) de $U(x)$ , como la pregunta se refiere a un "paquete" (pero puede ser una imprecisión y se refiere sólo a función de varias variables, es difícil responder sin leer el libro).
Debe leerse todo el pasaje del libro para ver el contexto, pero la afirmación de la pregunta debe significar que es posible, pero poco probable, que tengamos un máximo local de la función de utilidad (o, más generalmente, un punto crítico) en la frontera del conjunto factible.
Es decir: sabemos que bajo el supuesto de estricta monotonicidad (es suficiente, en realidad, la monotonicidad o la no saciedad local) la restricción presupuestaria es cumplido como igualdad de modo que el haz óptimo $x^*$ está en la línea presupuestaria..
Esto significa que, en la mayoría de los casos, la restricción es vinculante, y en general el óptimo con restricciones será diferente del óptimo sin restricciones.
Por lo tanto, en general, en la mayoría de los casos, tenemos $U'(x^*)\neq 0$ (mientras $U'(x^*)= 0$ es en cambio la condición necesaria para un máximo en un punto interior para el problema sin restricciones).
Sin embargo, no podemos excluir que, por casualidad, podamos decir que tenemos en $x^*$ un punto crítico de $U(x)$ (un punto donde las derivadas son cero) en el presupuesto de la línea.
$^1$ Por supuesto, es necesario leer el libro para entender cuál es el papel de estricto monotonicidad, es decir, si el libro lo considera necesario para el enunciado. En mi respuesta está implícito que la monotonicidad o la no saciedad local es suficiente. Si esto significa que todas las derivadas parciales son estrictamente positivas en todas partes, en realidad, no hay, por definición, ningún punto crítico.
Xenon
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219
La afirmación del título de la pregunta no tiene sentido. Si la utilidad $U$ es función de a (consumo) paquete entonces está definida en al menos dos variables, por ejemplo $U=U(x,y)$ . Así pues, tiene derivadas parciales, derivadas direccionales, un diferencial y un gradiente, pero "la derivada" de $U$ no está bien definido.
En caso de que no tenga paquete pero sí una cantidad $x$ de un único bien, la monotonicidad estricta de las preferencias significa que la función de utilidad $U(x)$ es estrictamente creciente. Todavía podría tener una derivada cero en la cantidad óptima $x^*$ sin embargo, si resulta que tiene un punto de silla allí, es decir, si $U'(x^*)=U''(x^*)=0$ .
Por ejemplo, si su utilidad viene dada por la función (estrictamente creciente) $U(x)=(x-1)^3+1$ sus ingresos son $I=1$ y el precio del bien es $p=1$ entonces su elección óptima es $x^*=1$ mientras que $U'(x^*)=0$ . Eso es "improbable", sin embargo, porque se necesita tanto una función de utilidad con un punto de silla de montar y este punto de equilibrio debe ser la elección óptima teniendo en cuenta la renta y el precio.
