FOC superior a 0

Question

No me cabía en la cabeza esta parte. Básicamente, tengo que demostrar que un consumidor tiene que poseer una cantidad positiva de activos, es decir. $x > 0$ .

Un consejo sugerido para encontrar tomar el FOC, y luego establecer $x = 0$ y vería que FOC es mayor que 0, lo que significa que $x = 0$ no puede ser una elección que maximice la utilidad, y el consumidor debe poseer una cantidad positiva de activos.

¿Qué tiene que ver que FOC sea mayor que 0 con $x = 0$ ¿no es la elección que maximiza la utilidad?

Answer 1

No es del todo posible tener "FOC mayor que 0", ya que el FOC es un condición no un número. Lo que realmente se quiere decir aquí es la derivada de la función de utilidad.

Si su función de utilidad viene dada por $u(x)$ entonces el FOC para un máximo sería $u'(x)=0$ . Ahora si calculas la derivada $u'(x)$ y luego sustituir $0$ para $x$ se obtiene la derivada en $0$ , escrito $u'(0)$ .

Si resulta que $u'(0)>0$ esto significa que su función de utilidad es localmente creciente en $0$ . Por lo tanto, si aumenta $x$ un poco, empezando por $0$ tu utilidad también aumenta. Por lo tanto, su función de utilidad no puede tener un máximo en $0$ . Más bien, su máximo debe alcanzarse en algún punto positivo $x$ .

Answer 2

Recuerde cuál es el objetivo de optimización : Es encontrar algún máximo o mínimo de una función. Potencialmente, para encontrar máximo o mínimo tal que algo debe ser satisfecho (restricciones).

Las condiciones de primer orden indican que las pendientes direccionales (derivaciones parciales) de la función son $0$ . Si lo piensas, la pendiente es igual a $0$ indica máximo o mínimo local (la función deja de aumentar o de disminuir).

Ahora bien, normalmente el resultado de tomar FOC de algún problema da como resultado funciones (o condiciones que deben cumplirse para que una elección sea óptima), llamémoslas $f'(\boldsymbol{x}) = 0$ . Si se introducen cifras concretas en $\boldsymbol{x}$ por ejemplo $x = 0$ y con ello su $f'(\boldsymbol{x}) \neq 0$ se sabe que la condición resultante de FOC no puede ser satisfecha por ese concreto $\boldsymbol{x}$ ¡!

Sólo esa elección $\boldsymbol{x}$ para el que mantiene $f'(\boldsymbol{x}) = 0$ ¡puede ser óptimo!

Answer 3

Si la pregunta le pide que demuestre $x>0$ entonces lo más fácil que puedes hacer es llegar a la contradicción. Tome $x=0$ y algunos $x>0$ Demuestre que la utilidad $u(x>0) > u(x=0)$ . Ya está.

Analíticamente, podría investigar su función de utilidad. Si es creciente monotónicamente en $x$ entonces $x$ va a chocar con la máxima restricción posible, a menos que tengas una restricción que imponga exógenamente $x=0$ .