Sobre el primer y último ceros antes de t en un movimiento browniano

Question

Supongamos que tenemos las siguientes variables aleatorias, dada una fija $t$ definimos el último cero antes de $t$ y el primer cero después de $t$ :

\begin{align*} \alpha_t &= \sup\left\{ s\leq t: B(s) = 0 \right\}\\ \beta_t &= \inf\left\{ s\geq t: B(s) = 0 \right\}\ \end{align*}

Por qué $\beta_t$ es un tiempo de parada, pero $\alpha_t$ ¿no?

Dada la definición intuitiva de tiempo de parada, en mi cabeza tiene mucho más sentido que el resultado fuera al revés.

Answer 1

Intuitivamente hablando, por lo general se tiene un suceso del que no se sabe cuándo ocurre (el momento en que ocurre es aleatorio), pero sí se sabe que ocurrirá en algún momento en el futuro. El suceso es un tiempo de parada si en algún momento se sabe si el suceso ha ocurrido o no.

En tu ejemplo, tienes un tiempo fijo $t$ . El acontecimiento $\alpha_t$ describe ahora la última aparición de $B(s)=0$ antes de $t$ . Sin embargo, al acercarse $t$ no sabrá en ningún momento si el último $B(s)=0$ antes de $t$ se ha producido, ya que siempre podría producirse otro.

Por otra parte, con $\beta_t$ ahora te estás alejando de $t$ y estás esperando hasta que observas el primer $B(s)=0$ . En cuanto lo observes, sabrás que, efectivamente, éste fue el primer $B(s)=0$ después de $t$ ya que no pudo haber otra antes.