Resolución de BDC lagrangianos: algunas dificultades

Question

Tengo un problema de optimización de microeconomía que me da las siguientes condiciones de primer orden basadas en un Lagrangiano:

$ p_1 = \lambda \qquad(1)$

$ p_2 - \lambda (x_2^2+x_3^2)^{-1/3}x_2=0 \qquad(2)$

$ p_3 - \lambda (x_2^2+x_3^2)^{-1/3}x_3=0 \qquad(3)$

$ x_1+(x_2^2+x_3^2)^{2/3}=0 \qquad(4)$

Sé que en la solución $\ x_1$ es negativa y las otras dos variables son positivas. Supuestamente, este sistema de ecuaciones tiene solución sin necesidad de añadir ninguna condición extra, pero lamentablemente no la encuentro. Mis preguntas son:

(1) Cómo resolver $ x_1, x_2$ y $ x_3 $ como funciones de los precios en este caso concreto?

(2) ¿Qué hacer de forma más general cuando las condiciones de primer orden se anulan como parece ocurrir en el ejemplo anterior?

Answer 1

En respuesta a la pregunta (1):

Utilizando la ecuación (1) podemos sustituir por $\lambda$ en (2) y (3) para obtener:

$p_2-p_1(x_2^2+x_3^2)^{-1/3}x_2=0 \qquad(5)$

$p_3-p_1 (x_2^2+x_3^2)^{-1/3}x_3=0 \qquad(6)$

Si podemos resolver $x_2$ y $x_3$ podemos sustituir en (4) y reordenar para obtener $x_1$ .

Lo que es menos obvio es cómo resolver para $x_2$ y $x_3$ pero esto se puede hacer de la siguiente manera. Dado que (5) y (6) contienen el término común $p_1(x_2^2+x_3^2)^{-1/3}$ podemos deducir de ellos que:

$\dfrac{p_2}{x_2}=\dfrac{p_3}{x_3} \qquad(7)$

y por lo tanto:

$x_3=\dfrac{p_3}{p_2}x_2 \qquad(8)$

Sustituyendo por $x_3$ en (5):

$p_2-p_1\Bigg(x_2^2+\dfrac{p_3^2}{p_2^2}x_2^2\Bigg)^{-1/3}x_2=0 \qquad(9)$

$p_2-p_1x_2^{1/3}\Bigg(1+\dfrac{p_3^2}{p_2^2}\Bigg)=0 \qquad(10)$

(10) puede reordenarse para obtener $x_2$ . Un argumento similar a partir de (6) y (7) resolverá para $x_3$ .