Definición y estimación de $\beta$: ¿rendimientos brutos o excesivos?

Question

El CAPM es un modelo de un solo período que dice $$ \mathbb{E}(R^*_i)=\beta\mathbb{E}(R^*_m) $$ donde $R^*_i:=R_i-r_f$ es el rendimiento excedente de un activo, $R^*_i:=R_m-r_f$ es el rendimiento excedente del mercado y $\beta:=\frac{\text{Cov}(R^*_i,R^*_m)}{\text{Var}(R^*_m)}=\frac{\text{Cov}(R_i,R_m)}{\text{Var}(R_m)}$. La última igualdad se cumple ya que $r_f$ es simplemente una constante, y desplazar las variables aleatorias por una constante no cambia su covarianza o sus varianzas.

Ahora, el CAPM y $\beta$ suelen estimarse a partir de múltiples períodos de datos (piense en la estimación de Fama-MacBeth o GMM). Allí, la tasa libre de riesgo $r_{f,t}$ varía en el tiempo, por lo que $\frac{\text{Cov}(R^*_{i,t},R^*_{m,t})}{\text{Var}(R^*_{m,t})}\color{red}{\neq}\frac{\text{Cov}(R_{i,t},R_{m,t})}{\text{Var}(R_{m,t})}$. ¿Cuál de las dos expresiones define entonces $\beta$?

(Para simplificar, asumamos que $\beta$, $\mathbb{E}(R^*_{i,t})$ y $\mathbb{E}(R^*_{m,t})$ son constantes en el tiempo. Creo que esta es una suposición común en las aplicaciones más básicas; corríjame si me equivoco.)

_{Hilos relacionados: <a href="https://quant.stackexchange.com/questions/49092">"Definiciones de Beta"</a> and <a href="https://quant.stackexchange.com/questions/66548">"¿Beta usando solo retornos de precios?"</a>.}

Answer 1

Respuesta corta: para la fijación de precios de activos de renta variable, trabajar con retornos en exceso de la tasa libre de riesgo (es decir, $r - r_f$) tiende a tener más sentido.

• Al restar la tasa libre de riesgo, prácticamente lo que estás haciendo es dejar de lado la dinámica de la tasa libre de riesgo como un problema separado.
  • por ejemplo, hace que los retornos de periodos de alta inflación como la década de 1970 sean en cierto sentido más comparables con números de periodos de baja inflación como la década de 1990.
• Un número de teorías económicas financieras te dan fórmulas con retornos en exceso. Tiende a destacar más en la teoría.

No es algo en lo que la teoría económica financiera esté tan establecida que haya una respuesta definitivamente correcta o incorrecta. Puedes encontrar papers donde la gente hizo todo tipo de cosas diferentes: ¿beta estimado a partir de retornos regulares o retornos en exceso? ¿beta estimado a partir de retornos logarítmicos? ¿beta estimado de una ventana móvil de dos años (tiene más sentido para empresas individuales)? ¿beta estimado a partir de la muestra completa (tiene más sentido para carteras construidas con algún criterio consistente)? etc...

Nota: el CAPM no funciona, pero aún hay varias razones por las que se puede querer estimar betas de mercado.