Restricciones cuasiconvexas mediante funciones monotónicas

Question

Creo que tengo un gran malentendido en torno a las restricciones cuasi-convexas en la maximización, cuando se utilizan funciones monótonas. Puede ayudarme a detectar mis errores, por favor?

La definición de función cuasiconvexa que utilizaré es:

Una función $f$ de $\mathbb{R^n}$ a $\mathbb{R}$ es cuasiconvexo si, $\forall \alpha \in \mathbb{R^n}$ el conjunto

$$\{x\in D: f(x)<\alpha\},$$
donde $D$ es el dominio de $f$ es una convexo set.

Las funciones monótonas son cuasiconvexas y cuasicóncavas - Wikipedia

1. Si tomo $f: \mathbb{R^{2+}} \to \mathbb{R^+}$ donde $f=(x_1x_2)^{1/2}$ ¿Por qué mis conjuntos de contorno inferiores no son convexos? (Véase la imagen adjunta). En mi mente, la función es monótona, por lo tanto es cuasi-convexa y cuasi-cóncava, pero no puedo demostrar la cuasi-convexidad utilizando los contornos, según la definición.

Restricción cuasicóncava en un problema de minimización

1. Una conferencia en vídeo times-tamped Estaba viendo que al definir nuestra restricción de igualdad en un problema de minimización, tenemos que escribir $f(x_1, x_2) - q = 0$ en lugar de $q - f(x_1, x_2) = 0$ porque necesitamos que la restricción sea cuasicóncava. Pero de nuevo en el vídeo creo que la restricción es estrictamente creciente, así que seguramente la restricción ya es cuasi-convexa y cuasi-cóncava. ¿Entonces no importa?

En qué me estoy equivocando

1. ¿Estoy entendiendo mal la relación entre una función monótona y la cuasiconvexidad/concavidad? Tal vez es diferente cuando nuestro dominio está en $\mathbb{R^n}$ vs $\mathbb{R}$
2. ¿Estoy entendiendo mal los términos monotónico, estrictamente creciente y no decreciente, y se aplican de forma diferente a la cuasiconvexidad/concavidad de lo que imagino?
3. ¿Todos los demás están equivocados y yo estoy a punto de reinventar la teoría de la optimización?

Answer 1

Las funciones monotónicas de valor real definidas en la recta real o en un subconjunto de la recta real son a la vez cuasicóncavas y cuasiconvexas, pero no es necesariamente el caso si la función está definida en $\mathbb{R}^n$ o su subconjunto, donde $n\geq 2$ . Por ejemplo, todas ellas son funciones monótonas:

• $f$ definido en $\mathbb{R}^2_+$ y como $f(x_1,x_2)=x_1^\frac{1}{2}x_2^\frac{1}{2}$ es cuasicóncava, pero no cuasiconvexa.
• $f$ definido en $\mathbb{R}^2_+$ y como $f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$ es cuasiconvexa, pero no cuasicóncava.
• $f$ definido en $\mathbb{R}^2_+$ y como $f(x_1,x_2)=x_1 + x_2$ es a la vez cuasiconvexa y cuasicóncava.
• $f$ definido en $\mathbb{R}^2_+$ y como $f(x_1,x_2)=\sqrt{x_1} + x_2^2$ no es ni cuasiconvexa ni cuasicóncava.