Cuestión desafiante en microeconomía - no valoración local

Question

Estoy estudiando micro avanzado del libro de Mas-Colell (ejercicio 16.C.1)

Me preguntaba si alguien me puede ayudar a resolver el siguiente ejercicio. No tengo ni idea de cómo resolverlo

Demuestre que si un conjunto de consumo $X_i \subset \mathbb{R}^{L}$ es no vacía, cerrada y acotada y la relación de preferencia $\succeq_i$ en $X_i$ es continua, entonces $\succeq_i$ no puede ser localmente nonsatiated. [Pista: Demuestre que la función de utilidad continua que representa $\succeq_i$ debe tener un máximo en $X_i$ ]

Answer 1

Las funciones continuas alcanzan un valor mínimo y un valor máximo en un conjunto compacto (cerrado y acotado). Se trata de un teorema bien conocido.

Dado que la función de utilidad $u_i$ representando a $\succeq_i$ es continua y $X_i$ es cerrado y acotado, entonces $u_i$ debe alcanzar un valor máximo en algún momento $x = (x_1,\dots,x_L)$ en $X_i$ .

Desde $u_i$ tiene un valor máximo en $x$ no hay $y \in X_i : y \succ_i x$ .

Por lo tanto, $\succeq_i$ no es localmente no saciable.

La definición de localmente no saciable que utilizo es $\forall x \in X \forall \epsilon > 0 \exists y \in X : ||y-x|| \leq \epsilon$ y $y \succ x$ .

Obsérvese que esta definición implica la inexistencia de valores máximos para la función de utilidad correspondiente, si las preferencias son efectivamente representables por una función de utilidad (lo que ocurre cuando las preferencias son completas, transitivas y continuas).