Cálculo del efecto de sustitución con la derivada

Question

Efecto de sustitución (SE) para un aumento de precios del $P_x$ a $P_x'$ se puede escribir como:

$h(P_x', P_y, U) - h(P_x, P_y, U) = h$ donde $h$ es la demanda hicksiana. ¿Correcto?

Las ecuaciones de Slutsky descomponen un cambio en la Demanda Marshalliana en el SE y el Efecto Ingreso (IE), donde el SE se escribe como: $\frac{\partial h}{\partial p_{x}}$

Pregunta:

Para los pequeños $P_x$ ¿es esto correcto? $h = h(P_x', P_y, U) - h(P_x, P_y, U) \approx \frac{\partial h}{\partial p_{x}}P_x$

Es decir, a menos que nuestra demanda hicksiana fuera lineal, sería inapropiado calcular realmente el SE para grandes cambios en P utilizando:

$\frac{\partial h}{\partial p_{x}}P_x$

Esto sólo nos daría una aproximación lineal decente del valor del SE para pequeños cambios en $P_x$ . ¿Estoy en lo cierto o me estoy confundiendo de cálculo? Gracias.

Answer 1

Tú escribiste:

A menos que nuestra demanda hicksiana fuera lineal, sería inapropiado calcular el SE para grandes cambios en P utilizando:

$\frac{\partial h}{\partial p_{x}}P_x$

Tienes razón, una diferencial de una función de una variable $f(x)$ es una buena aproximación del incremento de la función sólo para pequeños cambios de $x$ .

Para resumir la razón por la que esta aproximación no es buena para grandes cambios de $x$ , sintetizo a continuación, en la imagen, el significado geométrico del diferencial de una función $y=f(x)$ de un variable única.

Como creo que ya sabes, la derivada de una función $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ en un punto $x_0$ representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en $x_0$ (la tangente trigonométrica del ángulo $\alpha$ en la imagen de arriba).

En diferencial $dy$ de $f(x)$ en $x_0$ es, por definición:

$$dy= f'(x_0) \Delta x \;\;\;\;\;\;\;(1)$$

donde $f'(x_0)$ es la derivada de $f$ en $x_0$ .

En $x$ aumento de $x_0$ a $x_0+\Delta x$ la función aumenta de $f(x_0)$ a $f(x_0+\Delta x)$ y su incremento es $\Delta Y$ que en la imagen es igual al segmento $\bar {BS}$ .

El diferencial $dy$ en la imagen es igual (según $(1)$ ) al segmento $TS$ es decir, el aumento del ordenada de la recta tangente tras el aumento $\Delta x$ .

El segmento $\bar {BT}= \bar {BS} -\bar {TS}$ representa el error que hacemos al aproximar el incremento de la función $\Delta Y$ con el diferencial $dy$ .

Como puede verse en la imagen, este error se hace cada vez mayor a medida que $\Delta x$ se hace mayor, y menor a medida que $\Delta x$ se reduce y tiende a $0$ como $\Delta x \rightarrow 0$ .

Por supuesto, se trata de un argumento geométrico e informal, pero lo que hemos dicho puede demostrarse formal y rigurosamente.

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OBSERVACIÓN. Sólo una observación para evitar una posible confusión.

En su texto tenemos una derivada parcial . Pero el argumento anterior es completamente correcto, incluso si tenemos una derivada parcial.

$\frac{\partial h}{\partial p_{x}}P_x$ no es el diferencial de la función de varias variables $ h(P_x, P_y, U)$ Por supuesto. Pero $\frac{\partial h}{\partial p_{x}}P_x$ es, sin embargo, un diferencial el diferencial de la función de un variable $h(P_x, \bar P_y, \bar U)$ donde $\bar P_y$ y $\bar U$ son de valor fijo.

Una derivada parcial es, en realidad, una derivada de una función de una variable, por definición, porque es la derivada de la función que se obtiene manteniendo fijas todas las variables, excepto la variable respecto de la que estamos tomando la derivada.

En nuestro caso, la función es $h(P_x, \bar P_y, \bar U)$ . En $\frac{\partial h}{\partial p_{x}}P_x$ es el diferencial de la función de un variable $h(P_x, \bar P_y, \bar U)$ se aplica lo que hemos dicho antes sobre la diferencial de una función de una variable.