Integrando sobre el eje Y: (∆CS)

Question

La fórmula tradicional del excedente del consumidor es: $\text{CS} = \int_{0}^{x_0} [x(p_x,\overline{p_y}, \overline{m})]dx - x_0P_{x_0}$ .

Se trata del área bajo la curva de demanda marshalliana, es decir, sólo el triángulo de arriba $P_x$

Sin embargo, me he dado cuenta de que las fórmulas para la variación compensadora, que es una astilla por debajo de la curva de demanda hicksiana ( $h$ ) entre $P_{x_0}$ y $P_{x_1}$ se calcula utilizando $\text{CS} = \int_{p_{x_0}}^{p_{x_1}}[h(p_x,\overline{p_y}, \overline{u})]dp_x$

Preguntas:

1. ¿Podríamos calcular CS de la misma manera, es decir $\text{CS} = \int_{p_{x_0}}^{p_{x_1}} [x(p_x,\overline{p_y}, \overline{m})]dp_x$ en lugar de utilizar el más largo: $\text{CS} = [\int_{0}^{x_0} [x(p_x,\overline{p_y}, \overline{m})]dx - x_0P_{x_0}]$ - $[\int_{0}^{x_1} [x(p_x,\overline{p_y}, \overline{m})]dx - x_1P_{x_1}]$

2. De forma más general, podemos optar por integrar con respecto al eje Y de la siguiente manera ¿cuándo queremos un trozo del gráfico como en estos ejemplos?

3. Si puedo integrar con respecto al eje y, ¿hay algo con lo que deba tener cuidado?

He adjuntado una imagen para dar más claridad a mi pregunta. Gracias.

Answer 1

0. La fórmula tradicional para $CS$ sería en realidad $CS = \int_{0}^{x_0} [p_x(x,\overline{p_y},\overline{m})] dx - p_0 x_0$ . En la integración tradicional con respecto al eje horizontal, integramos la variable del eje vertical con respecto a la variable del eje horizontal. Esto implica que necesitamos obtener la demanda inversa (parcial) con respecto a $x$ es decir, resolver para $p_x$ en función de $x$ y las demás variables como fijas.

Por ejemplo: $x(p_x, p_y, m) = \frac{m p_y}{p_x} \implies x = \frac{m p_y}{p_x} \implies p_x = \frac{m p_y}{x} \implies p_x(x,p_y,m) = \frac{m p_y}{x}$ .

1. La variación del excedente del consumidor puede calcularse como sigue $\Delta CS = \int_{p_{x_0}}^{p_{x_1}} [x(p_x,\overline{p_y},\overline{m})] dp_x$ .

La versión más larga es errónea, ya que se basa en la fórmula tradicional equivocada para $CS$ . Además, si $x_0$ corresponde al punto original y $x_1$ al punto después del cambio de precio, la versión más larga debería corresponder en realidad a $\Delta CS = CS(x_1) - CS(x_0)$ en lugar de $\Delta CS = CS(x_0) - CS(x_1)$ ya que este último invertiría el signo del cambio.

2. Podemos integrar así con respecto al $y$ siempre que el integrando sea la variable dependiente $x$ en función de $y$ es decir $x(y)$ .

Integrar con respecto al $x$ eje, necesitamos tener $y(x)$ .

3. Lo que hay que tener cuidado es:

• Integrar con respecto al $x$ eje, si tuviéramos una función $x(y)$ tendríamos que resolver para $y$ en términos de $x$ es decir $y(x)$ .
• Integrar con respecto al $y$ eje, si tuviéramos una función $y(x)$ tendríamos que resolver para $x$ en términos de $y$ es decir $x(y)$ .