Log-linealizando un término de segundo orden alrededor del estado estacionario

Question

Actualmente estoy intentando retrazar una log-linealización realizada en un artículo. Quiero log-linealizar alrededor del estado estacionario, como se hace comúnmente para los modelos DSGE ( voir ici ) y quiero descartar todos los términos de segundo orden. $\bar{x}$ son valores estacionarios y $\hat{x_t}$ son desviaciones porcentuales en estado estacionario. Este es el término en cuestión: $$\begin{align} Y_t(\Pi_t - 1)^2 = Y_t (\Pi_t^2 - 2\Pi_t +1) \end{align}$$ Ahora bien, si trato de log-linealizar de la manera habitual, termino con esto: $$\begin{align} \bar{Y}(1+\hat{Y_t})\biggl(\bar{\Pi}^2(1+2\hat{\Pi_t}) - 2\bar{\Pi}(1 + \hat{\Pi_t}) - 1\biggr) \end{align}$$ Así que incluso después de ignorar todos los términos de segundo orden, el término sigue siendo largo y molesto, sin embargo, en el papel todo el término simplemente desaparece. ¿Hay alguna forma mejor de manejar la log-linealización aquí y mostrar cómo desaparece el término? ¿O es que el autor simplemente ignoró el término desde el principio, porque $(\Pi_t-1)^2$ es un término de segundo orden y próximo a cero para niveles de inflación bajos?

Answer 1

Si $\Pi_t$ es la inflación bruta, entonces $(\Pi_t-1)^2$ es un término de segundo orden y es aproximadamente cero. Por ejemplo, para una tasa de inflación bruta trimestral estable razonable de 1,005, el término entre paréntesis se vuelve muy pequeño cuando se eleva al cuadrado (0,000025) e incluso si el modelo es anual, sigue siendo bastante pequeño.

Para verlo de otra forma, utilice el "truco" de expresar la inflación como el cociente de los niveles de precios y luego log-linealice $P_t$ en torno a $P_{t-1}$ como a continuación: $$Y_t(\Pi_t - 1)^2 = Y_t(\frac{P_t}{P_{t-1}} - 1)^2 \approx Y_t\biggl(\frac{P_{t-1}(1+p_t)}{P_{t-1}} - 1\biggr)^2 = Y_t p_t^2 \approx 0$$