Equivalente del lema de Shephard en la teoría del consumidor

Question

Estoy estudiando micro del Mas-Colell, y estoy intentando entender la prueba 2 de la proposición 3.G.1. Se trata de probar que la derivada de la función de gasto respecto al precio de una mercancía $l$ con $l=1,2,...,L$ se obtiene la función de demanda hicksiana.

Mi razonamiento es:

$\nabla_p e(p,u) = \nabla_p \left[p ~\cdot~h(p,u)\right]$ ,

donde, $e(p,u)$ es la función de gasto, que es la función de valor del problema de minimización del gasto (EMP). Por definición, $e(p,u) = p \cdot h(p,u)$ donde $h(p,u)$ es la correspondencia hicksiana de la demanda, es decir, el conjunto de paquetes de consumo que resuelve la AEM a un vector de precios $p$ .

Aplico la regla de la cadena y escribo:

$\nabla_p e(p.u)=h(p,u) + [p ~\cdot~D_p h(p,u)]^{\top}$

donde $D_p h(p,u)$ es simplemente la derivada del hicksiano con respecto a los precios. Entonces sustituyendo a partir de los FOC por una solución interior al problema de minimización del gasto (EMP), $p= \lambda \nabla u(h(p,u))$ , produce

$\nabla_p e(p.u)=h(p,u) + \lambda[ \nabla u(h(p,u)) ~\cdot~D_p h(p,u)]^{\top}$

Entonces el libro dice: ya que la restricción $u(h(p,u))=u$ es válido para $p$ en la AEM, sabemos que $\nabla u(h(p,u)) ~\cdot~D_p h(p,u)=0$ por lo que tenemos $h(p,u)=\nabla e(p,u)$ .

Por qué $\nabla u(h(p,u)) ~\cdot~D_p h(p,u)=0$ ? Se trata de que $\nabla u(h(p,u))=0$ porque la correspondencia de la demanda hicksiana $h(p,u)$ satisface la propiedad de utilidad no excesiva?

Answer 1

Fijar un nivel de utilidad $u$ . Para todos los precios $p$ tenemos $u(h(p,u))=u$ por lo que la función $u(h(p,u))$ es constante en los precios. Por lo tanto, su derivada con respecto a los precios $p$ es $0$ . Aplicando la regla de la cadena se obtiene $\nabla u(h(p,u)) ~\cdot~D_p h(p,u)=0$ .

Answer 2

Matemáticamente hablando, la razón es sencilla. Si $u(h(p,u))=u$ para cualquier nivel de precios, si se toma su derivada respecto a $p$ se obtiene cero. Tenga en cuenta que debe estar convencido de que la función de utilidad evaluada en $h(p,u)$ es igual a $u$ porque $h(p,u)$ es la solución del problema de minimización del gasto, y $u$ es el objetivo de utilidad satisfecho, por definición, por $h(p,u)$ porque $h(p,u)$ es el conjunto de óptimos. La propiedad de no exceso de utilidad es propia de la correspondencia hicksiana de la demanda, ya que, de no ser así, contradiría que $h(p,u)$ es una solución de su problema de minimización de gastos.

La interpretación económica de $\nabla_p e(p,u)=h(p,u)$ es: si se está en un óptimo en el problema de minimización del gasto, sólo importa el efecto directo sobre la función de gasto (cambio en los precios manteniendo fija la demanda, es decir, $h(p,u)$ ), y se puede prescindir del efecto indirecto sobre el gasto causado por el cambio inducido en la demanda manteniendo los precios fijos, $p \cdot D_p h(p,u)$