La condición de holgura complementaria (CSC) establece que $\lambda_j[g_j(x) c_j] = 0 \hspace{5pt} \text{for} \hspace{5pt} j = 1, ..., m.$ Por lo tanto, cada restricción debe ser una restricción de igualdad ( $\lambda_j=0$ ) o necesitamos tener una restricción activa ( $g_j(x) c_j = 0$ ). ¿Y si tenemos una restricción pasiva? ¿Por qué nos impediría eso encontrar el punto óptimo? En ese caso, ¿no podríamos ignorar esa restricción y encontrar el óptimo sin ella porque no afecta a nuestro punto óptimo? En caso afirmativo, ¿no haría CSC irrelevante?
Respuestas
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Resolver una programación no lineal (con restricciones de desigualdad) es cuestión de ensayo y error. No se sabe a priori si una restricción está activa. Se consideran todos los casos posibles que satisfacen las restricciones y se comprueba si optimizan la función objetivo (maximizan la función de utilidad, por ejemplo).
También $\lambda_j =0$ no es una restricción de igualdad, es sólo el multiplicador asociado a tu restricción. Tienes un único multiplicador distinto por cada restricción. $\lambda_j =0$ si su restricción NO está activa. En cambio, $\lambda_j >0$ si su restricción está activa
El ejemplo más sencillo que se puede considerar es:
Digamos que quieres max. $U=xy$ , $s.t.$
$i)x+y\le 100$
$ii) x,y \ge0$
Construyes el Lagrangiano:
$L(x,y,\lambda)=xy+ \lambda(100-x-y)$
Condiciones KT:
i) $\frac{\partial L}{\partial x}=y-\lambda \le 0$ ; $x\ge 0$
Nótese que una entre la derivada parcial y $x$ debe ser cero. Esto se denomina holgura complementaria y puede resumirse como $x \frac{\partial L}{\partial x}=0$
ii) $\frac{\partial L}{\partial y}=x-\lambda \le 0$ ; $y\ge 0$ ,
que puede resumirse como $y \frac{\partial L}{\partial y}=0$
iii) $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=100-x-y \ge 0$ ; $\lambda \ge 0$ ,
que se puede resumir como $\lambda \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$ y este es exactamente el CSC que escribiste en tu pregunta.
Como ya he dicho, no se sabe a priori qué restricción es vinculante. Debes considerar todos los casos posibles que satisfagan tu restricción y ver si éstos maximizan la función de utilidad. En nuestro ejemplo, no tiene sentido suponer que $x$ o $y$ son cero, porque o.w. $U(x,y)=0$ . Tiene sentido suponer que $\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial L}{\partial y}=0$ de la holgura complementaria. Así, puesto que $\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial L}{\partial y}$ entonces, se obtiene $y -\lambda = x - \lambda$ lo que significa $x=y$ y como tu riqueza es $100$ te das cuenta de que $x=y=50$
Bernard
Puntos
10700
Oportunidad dada, puede haber casos en los que tengamos ambos $\lambda_j=0$ y $g_j(x^*) = c_j$ . Esto ocurre cuando el sin restricciones óptimo $x^*_u$ es igual a la restringida. En tal caso, aunque la restricción se satisface con igualdad en el óptimo, no es realmente vinculante, en el sentido de que no afecta a la solución.
