¿Si los rendimientos están correlacionados, los ratios de Sharpe también están correlacionados?

Question

Supongamos que tenemos dos series de retorno correlacionadas: $$a \sim N(\mu_a,\sigma_a^2)$$ $$b \sim N(\mu_b,\sigma_b^2)$$ $$correl(a,b)=\rho$$

Las razones de Sharpe muestrales de las dos series, después de $t$ muestras para $t \to \infty$, se distribuyen aproximadamente como: $$\zeta_a \sim N(\frac {\mu_a} {\sigma_a}, \frac 1 t)$$ $$\zeta_b \sim N(\frac {\mu_b} {\sigma_b}, \frac 1 t)$$

Pero ¿están correlacionadas las razones de Sharpe? $$correl(\zeta_a,\zeta_b)=?$$

Empíricamente, encontré que están igualmente correlacionadas: $$correl(\zeta_a,\zeta_b)correl(a,b)$$

Pero ¿cuál es la matemática detrás de esto?

Answer 1

Nota 1: A partir de la información en tu pregunta, creo que asumiste que la tasa libre de riesgo $r_f$ es igual a $0$ y el ratio de Sharpe es $$\frac{\mathbb{E}(a)-r_f}{\sqrt{\mathbb{V}(a)}} = \frac{\mathbb{E}(a)}{\sqrt{\mathbb{V}(a)}} $$ donde $\mathbb{E}(a)$ y $\mathbb{V}(a)$ son el valor esperado y la varianza del retorno $a$.

Ahora, volviendo a la pregunta, para simplificar el problema, asumimos que las varianzas de las dos series son conocidas (y son iguales a $\sigma_a^2$ y $\sigma_b^2$). Entonces $$\sqrt{\mathbb{V}(a)}=\sigma_a$$ $$\sqrt{\mathbb{V}(b)}=\sigma_b$$

A partir de $t$ muestras de retorno $(a_i,b_i)_{i=1,..,t}$ de $(a,b)$, podemos estimar los rendimientos esperados como $$\mathbb{E}(a) = \frac{1}{t}\sum_{i=1}^t a_i$$ $$\mathbb{E}(b) = \frac{1}{t}\sum_{i=1}^t b_i$$

Nota 2: notamos que estos $(a_i,b_i)$ y $(a_j,b_j)$ son independientes si $i \ne j$ y para cualquier $i$, hay una correlación $\rho$ entre $a_i$ y $b_i$.

y así, su ratio de Sharpe puede ser estimado de la siguiente manera $$\zeta_a=\frac{\frac{1}{t}\sum_{i=1}^t a_i}{\sigma_a}$$ $$\zeta_b=\frac{\frac{1}{t}\sum_{i=1}^t b_i}{\sigma_b}$$

Nota 3: de acuerdo al teorema del límite central, $$\sqrt{t}\cdot \zeta_a \xrightarrow{t\to+\infty} \mathcal{N}\left(\frac{\mu_a}{\sigma_a},1 \right)$$ Por lo tanto, la fórmula en la pregunta debería ser algo como esta $$\zeta_a \xrightarrow{t\to+\infty} \mathcal{N}\left(\frac{1}{\sqrt{t}}\frac{\mu_a}{\sigma_a},\frac{1}{t} \right)$$

Ahora, calculamos la correlación entre $\zeta_a$ y $\zeta_b$. Basta con calcular su covarianza (su varianza es conocida y es igual a $\frac{1}{t}$ según la nota 3).

$$ \begin{align} Cov(\zeta_a, \zeta_b) &= \frac{1}{t^2 \sigma_a \sigma_b} \sum_{1 \leq i,j \leq t}Cov(a_i,b_j) \\ &= \frac{1}{t^2 \sigma_a \sigma_b} \left( \sum_{1 \leq i \leq t}Cov(a_i,b_i) +\underbrace{\sum_{1 \leq i \ne j \leq t}Cov(a_i,b_j)}_{=0 \text{ debido a la independencia según la nota } 2} \right) \\ &=\frac{1}{t^2 \sigma_a \sigma_b} \cdot t \cdot Cov(a,b)\\ &=\frac{1}{t^2 \sigma_a \sigma_b} \cdot t \cdot \rho \sigma_a \sigma_b\\ &=\frac{\rho}{t} \end{align} $$

Finalmente, la correlación entre los dos ratios de Sharpe es

$$\rho(\zeta_a,\zeta_b) = \frac{Cov(\zeta_a, \zeta_b)}{\sqrt{\mathbb{V}(\zeta_a)}\sqrt{\mathbb{V}(\zeta_b)}} =\color{red}{\rho }$$