Conjunto presupuestariamente viable en un problema de elección de cartera

Question

Estoy repasando el libro de Duffie Dynamic Asset Pricing, y ya me encontré con algo que me confundió en la tercera página. En primer lugar, algunas definiciones.

Sea $\{1, \cdots, S\}$ sea un conjunto finito de estados, $D$ un $N \times S$ matriz de pagos de seguridad, donde $D_{ij}$ es la remuneración del valor $i$ en el estado $j$ . En $N$ los valores tienen precios $q \in \mathbb{R}^N$ . Una cartera es un vector $\theta \in \mathbb{R}^N$ con valor de mercado $q' \theta \in \mathbb{R}$ y pago $D'\theta \in \mathbb{R}^S$ . Aquí $'$ denota la transposición.

Un agente con función de utilidad $U : \mathbb{R}^S_+ \to \mathbb{R}$ y dotación $e \in \mathbb{R}^S_+$ quiere resolver

$$ \sup_{c \in X} U(c), $$ donde el conjunto presupuestariamente viable $X$ se define como

$$ X = \{e + D'\theta \in \mathbb{R}^S_+ : q' \theta \leq 0 \}. $$

Duffie llama $q' \theta \leq 0$ a restricción de riqueza pero me cuesta ver cómo se puede interpretar así. ¿Por qué el valor de mercado de la cartera del agente debe ser no positivo? El problema de optimización también puede plantearse como

$$ \sup_\theta U(e + D'\theta) \hspace{0.5cm} \text{s.t.} \hspace{0.5cm} q' \theta \leq 0, $$ lo que lo convierte más claramente en un problema de elección de cartera. Aun así, para mí no aporta mucha intuición.

Estoy seguro de que me estoy perdiendo algo obvio. ¡Cualquier ayuda para señalarlo sería genial!

Answer 1

El agente no posee inicialmente nada más que la dotación. Si su dotación fuera $0$ en cada estado, entonces debería estar claro que su riqueza inicial es cero, y que sólo podrían permitirse una cartera cuyo precio total también fuera cero.

¿Qué ocurre si la dotación no es cero? Ahora poseen algo, pero la única forma que tiene el agente de vender partes de la dotación es utilizando una cartera adecuada; sólo pueden vender su dotación a través del mercado.

Supongamos, por ejemplo, que la dotación tiene exactamente la misma retribución en cada estado que el primer activo. En ese caso, el agente podría vender (en corto) una unidad del primer activo, lo que equivale a vender la dotación y recibir $q_1$ unidades de dinero, y ahora podía permitirse cualquier cartera $\theta^*$ tal que $q\cdot\theta^*\leq q_1$ . El consumo contingente resultante es $D^\top\theta^*.$ Pero equivalentemente, el agente podría no vender su dotación y en su lugar elegir la cartera $\theta=\theta^*-\eta_1$ con $\eta_1$ el primer vector unitario. Entonces $q\cdot\theta=q\cdot(\theta^*-\eta_1)=q\cdot\theta^*-q\cdot\eta_1=q\cdot \theta^*-q_1\leq q_1-q_1=0$ y el vector de pagos contingentes del estado sería $e+D^\top\theta=D^\top\eta_1 +D^\top\theta=D^\top(\eta_1+\theta)=D^\top\theta^*$ .

Así pues, la formulación corresponde a un caso en el que primero vendes partes de tu dotación y utilizas el dinero para comprar una cartera a un precio estrictamente positivo. Dado que los mercados pueden ser incompletos, en general no siempre es posible vender toda la dotación.