Sobre la base de mi respuesta anterior aquí
r is the monthly or quarterly interest rate
y is the number of years
m is the number of months or quarters per year
p is the initial regular deposit
x is the annual deposit percentage increase
c is the initial capital
fv = (p (1 + r) (-1 + (1 + r)^m) ((1 + r)^(m y) - (1 + x)^y))/
(r (-1 + (1 + r)^m - x)) + c (1 + r)^(m y)
Para un 5% compuesto anualmente, el tipo mensual r = (1 + 0.05)^(1/12) - 1
Para un 5% compuesto mensualmente, el tipo mensual r = 0.05/12
Véase cálculo del tipo nominal para aclararlo.
Con los siguientes valores (tasa compuesta mensual)
r = 0.05/12
m = 12
p = 1000
x = 0.03
c = 2000
fv = 100000
Solución de y : y = 6.36822
El objetivo se alcanza en 6 años y 5 meses.
También se muestra la solución trazada.
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Resultado de la comprobación de y = 6 utilizando fórmulas y Excel.
fv = (p (1 + r) (-1 + (1 + r)^m) ((1 + r)^(m y) - (1 + x)^y))/
(r (-1 + (1 + r)^m - x)) + c (1 + r)^(m y) = 92988.93
El capital compuesto figura por separado en la columna H, es decir c (1 + r)^(m y)
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Tenga en cuenta que, probablemente debido a los saltos anuales en la contribución mensual, sólo las entradas de los años redondos coinciden exactamente con las cifras de Excel, es decir, para y = 6 + 5/12
fv = (p (1 + r) (-1 + (1 + r)^m) ((1 + r)^(m y) - (1 + x)^y))/
(r (-1 + (1 + r)^m - x)) + c (1 + r)^(m y) = 100936.25
También se dejó de pagar el primer mes de intereses del capital. La celda J1 de Excel debería ser 2008.333 y la fórmula debería terminar así ... + c (1 + r)^(m y + 1) . El interés del capital es correcto en la versión siguiente.
Pregunta adicional
Paso a un aumento mensual de la comilla del 0,5
fv = (p ((1 + r)^n - (1 + x)^n))/(r - x) + c (1 + r)^n
donde x es el porcentaje mensual de incremento de la comilla y n es el número de meses.
La fórmula tampoco puede expresarse para n.
Veré de seguir con Método de Newton para resolver esto rápidamente, computacionalmente (sin un solucionador de terceros).
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Solución Newton-Raphson para n
Necesitamos encontrar una root para esta fórmula con una incógnita, n
(p ((1 + r)^n - (1 + x)^n))/(r - x) + c (1 + r)^n - fv = 0
Usando el algoritmo aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method#Code
Este método requiere la derivada de la fórmula. (La fórmula y su derivada funcionarán para todas las variaciones numéricas del cálculo. Nota Log es a la base e.)
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¿Qué? n = 80.6977 en este contexto es cuestionable. Seguro que puede saber que el penúltimo pago es el 80º.
r = 0.05/12; p = 1000; x = 0.005/12; c = 2000; n = 80;
fv = (p ((1 + r)^n - (1 + x)^n))/(r - x) + c (1 + r)^n = 98991.5145
Por el fin del mes 80 fv = 98991.5145 (1 + r) = 99403.9792 y luego llega la última contribución y hace que el saldo supere el objetivo de 100000. Entonces, ¿qué ocurre en n = 80.6977 es un poco teórico.
Podrías encontrar más fácilmente el penúltimo mes con un simple bucle.
r = 0.05/12; p = 1000; x = 0.005/12; c = 2000; fv = 100000; n = 0;
While[c < fv,
u = {n++, c};
c *= (1 + r);
c += p;
p *= (1 + x)]
{u, {n, c}}
{{80, 98991.5145}, {81, 100438.867}}
Anexo
Añadir una solución Newton-Raphson para la anualidad de pago creciente anualmente (corregida).
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La solución te dice que el objetivo se alcanza en el año 6. Así que añadir un bucle para encontrar el penúltimo y último mes.
y = 6
fv = (p (1 + r) (-1 + (1 + r)^m) ((1 + r)^(m y) - (1 + x)^y))/
(r (-1 + (1 + r)^m - x)) + c (1 + r)^(m y + 1) = 93000.17
n = 0;
While[fv < 100000,
u = {n++, fv};
fv = (fv + p (1 + x)^y) (1 + r)]
{u, {n, fv}}
{{4, 99386.06}, {5, 100999.2}}
En este caso se alcanza el objetivo antes de se efectúa el pago mensual. El caso en que se alcance o supere el objetivo después de también habría que gestionar el pago.
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