¿Cómo determinar la convexidad o concavidad de una curva de indiferencia?

Question

No sé qué hacer. Quizá alguno de vosotros pueda explicármelo. Se da una función de utilidad: $U(x,y)=\sqrt{x^2y^2}$ y debemos determinar si la curva de indiferencia es convexa.

De la lectura se desprenden dos opciones para saber si una curva de indiferencia es convexa:

1. Compruebe si el MRS disminuye en caso de aumento del $x$ .
2. Compruebe si $[U(x_1, y_1)]+(1-)[U(x_2, y_2)] U[(x_1+(1-)x_2), (y_1+(1-)y_2)]$ .

Para mi función, ambas condiciones se cumplen plenamente. Sin embargo, al establecer la utilidad a un nivel constante y dibujar la curva de indiferencia, se puede ver que la curva es cóncava con su apertura hacia el lado derecho. Entonces, ¿cómo puedo saber y sobre todo demostrar, excepto dibujándola, que la curva es cóncava?

Había más de una función para evaluar. Para otra función, $U(x,y)=\sqrt{xy}$ ambos condimentos también aguantan. Pero se ve rápidamente que se trata de otra forma de función de utilidad Cobb-Douglas y que, efectivamente, es convexa. Ambas funciones difieren únicamente en que $U(x,y)=\sqrt{xy}$ tiene un MRS positivo y $U(x,y)=\sqrt{x^2y^2}$ tiene un MRS negativo. Para ambos, la MRS diferenciada para $x$ es negativo, como se indica en la opción uno.

Answer 1

1. $U(x,y) = \sqrt{x^2 - y^2}$ tiene curvas de indiferencia cóncavas. Como usted ha señalado, esto puede comprobarse fijando la utilidad a un nivel constante $\overline{U}$ .

$\overline{U} = \sqrt{x^2 - y^2} \iff \overline{U}^{2} = x^2 - y^2 \iff y^2 = x^2 - \overline{U}^2 \iff y = \sqrt{x^2 - \overline{U}^2}$ ,

el último paso suponiendo que las cantidades no pueden ser negativas.

Tenga en cuenta que $\overline{U}$ es constante, entonces la cantidad $\overline{U}^2$ es una constante, que renombraremos como $C$ .

Obtenemos la familia de curvas de indiferencia como $y = \sqrt{x^2 - C}$ .

Diferenciando con respecto a x,

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - C}}$

Diferenciando de nuevo con respecto a x,

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\sqrt{x^2 - C} - x \frac{x}{\sqrt{x^2 - C}}}{x^2 - C} = \frac{\frac{x^2 - C - x^2}{\sqrt{x^2 - C}}}{x^2 - C} = \frac{-C}{(x^2 - C)^{\frac{3}{2}}}$

La cantidad en el denominador es positiva siempre que ella misma y $\frac{d^2 y}{dx^2}$ bien definida y puesto que $C = \overline{U}^2$ es positivo siempre que $\frac{d^2 y}{dx^2}$ está bien definida.

Esa buena definición de la que hablo se produce cuando $x > y$ ya que no se pueden sacar raíces cuadradas de números negativos. El interior de root cuadrada puede ser $0$ pero la derivada no existiría ya que root cuadrada está en el denominador.

Así que tenemos

$\frac{d^2 y}{dx^2} < 0$ cuando $x > y$ .

Desde $x > y \iff \overline{U} > 0,$ esto nos da la concavidad de las curvas de indiferencia para $\overline{U} \in (0,\infty)$ .

Los puntos donde $y = x$ son exactamente la curva de indiferencia para $\overline{U} = 0$ . Como es una línea recta, es cóncava. (Las líneas son a la vez convexas y cóncavas, son una especie de comodín).

Por lo tanto, la curva de indiferencia para $\overline{U} = 0$ también es cóncava.

Obtuvimos que las curvas de indiferencia para $\overline{U} \in [0,\infty)$ son cóncavas.

Dado que la gama de $U(x,y) = \sqrt{x^2 - y^2}$ es $[0,\infty)$ podemos concluir que todas las curvas de indiferencia son cóncavas.

Como usted ha señalado, esta función de utilidad tiene una MRS negativa, debido a lo siguiente:

$\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{x^2 - y^2}}$ que es negativo para todos $y > 0$ .

Esto significa que $U$ es decreciente en $y$ que hace que $y$ un mal más que un bien, como se señala en el comentario. Este es el problema de fondo.

La mayor parte de la teoría se basa tanto en $x, y$ siendo bienes económicos, es decir, la función de utilidad es no decreciente en ambos $x,y$ por lo que habría que tener más cuidado con las reglas que se enseñan cuando uno de los "bienes" es en realidad un mal económico.

Nota: Esta función de utilidad no tiene sentido cuando $y > x$ porque daría root cuadrada de un número negativo.

Por otro lado, para esa función de utilidad Cobb-Douglas, $x,y$ son siempre bienes económicos, ya que

$\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{y}{2 \sqrt{xy}}$ ,

$\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{x}{2 \sqrt{xy}}$ .

Ya que ambos no pueden ser negativos,

$MRS = \frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}}$ no puede ser negativo, como has señalado.

Editar después de comentario de OP:

$MU_x = \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - y^2}}$ ,

$MU_y = \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{x^2 - y^2}}$ .

De aquí obtenemos

$MRS_{x,y} = \frac{MU_x}{MU_y} = - \frac{x}{y}$ .

En $MRS$ que solemos calcular es $MRS_{x,y}$ salvo que se indique lo contrario.

Aunque esto sea negativo, cuando $x$ aumenta, la fracción $\frac{x}{y}$ aumenta a medida que $x$ está en el numerador y ambas cantidades son positivas.

Esto implica que $MRS_{x,y} = - \frac{x}{y}$ se vuelve más negativo a medida que $x$ aumenta. Que sea más negativo implica que está disminuyendo.

Answer 2

Es difícil estar seguro sin conocer la terminología que utiliza tu profesor, pero creo que una fuente de confusión aquí podrían ser dos definiciones diferentes de convexidad.

En primer lugar, una función es convexa si $\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)> f(\alpha x+(1-\alpha)y)$ (fíjate que ésta es la desigualdad opuesta a la de tu pregunta, que es lo que me sugiere que ésta no es la noción de convexidad que tu instructor tiene en mente).

Gráficamente, para una función de una sola variable, esto significa que el gráfico tiene forma de U, de modo que al conectar dos puntos cualesquiera de la función se obtiene una línea que se sitúa en todas partes por encima de la función; una función cóncava es aquella en la que la línea se sitúa por debajo.

Esto es lo que se comprueba cuando se trazan las curvas de indiferencia en el $x$ - $y$ espacio y ver que se curvan de sur a este.

Por favor, disculpe el dibujo tosco, pero esto muestra una función cóncava (no convexa) porque la línea roja se encuentra en todas partes por debajo de la función azul.

---

En teoría de conjuntos, decimos que un conjunto es convexo si, para dos puntos cualesquiera dentro del conjunto, una media ponderada de esos puntos también está dentro del conjunto. Gráficamente, esto significa que si trazamos una línea recta entre dos puntos del conjunto, toda la línea está dentro del conjunto. Un conjunto no convexo es un conjunto en el que podemos unir dos puntos y encontrar que la recta pasa por fuera del conjunto. La primera imagen muestra un conjunto convexo y la segunda un conjunto no convexo.

Ahora bien, una curva de indiferencia define un conjunto de todos los puntos (es decir, todos los paquetes) que son mejores que los de la curva de indiferencia. Llamamos a ese conjunto el conjunto de contorno superior. Para una curva de indiferencia Cobb-Douglas estándar de libro de texto, ese conjunto tendría este aspecto (obsérvese que el conjunto de contorno superior es convexo):

Para la función de utilidad de tu pregunta, el conjunto tiene este aspecto (sigue siendo convexo porque al conectar dos puntos cualesquiera de la zona sombreada se obtiene una línea totalmente dentro de la zona sombreada):

Esta segunda noción de convexidad corresponde a la condición de que $[U(x_1, y_1)]+(1-)[U(x_2, y_2)] U[(x_1+(1-)x_2), (y_1+(1-)y_2)]$ .

Answer 3

Sólo una observación, demasiado larga para un comentario, sobre una posible fuente de confusión.

Quizá un origen del problema sea una confusión sobre los signos de las derivadas.

Tú escribiste:

Se da una función de utilidad: $U(x,y)=\sqrt{x^2y^2}$ y deberíamos determinar si la curva de indiferencia es convexa. De la lectura se desprenden dos opciones para saber si una curva de indiferencia es convexa

1. Compruebe si el MRS disminuye en caso de aumento del $x$ .
2. Compruebe si $[U(x_1, y_1)]+(1-)[U(x_2, y_2)] U[(x_1+(1-)x_2), > (y_1+(1-)y_2)]$ .

Para mi función, ambas condiciones se cumplen plenamente. Sin embargo, cuando utilidad a un nivel constante y dibujar la curva de indiferencia de indiferencia, se puede ver que la curva es cóncava y se abre hacia la derecha. derecha.

Creo que Point 1) significa que el valor absoluto de la pendiente de la curva de indiferencia es decreciente, ya que el MRS suele definirse como el valor absoluto, es decir Pendiente de la curva de indiferencia \= $ - \frac {\frac {\partial U}{\partial x} }{{\frac {\partial U}{\partial y} } }=-MRS$ (si la pendiente es negativa). $^1$

(esto a veces da lugar a confusión).

Piense en las curvas de indiferencia habituales como curvas de indiferencia Cobb-Douglas:

Las curvas de indiferencia tienen una pendiente negativa, que es decreciente en absoluto valor pero, al ser negativo, en realidad está aumentando: la segunda derivada es positiva.

Por el contrario, las curvas de indiferencia de su función $U(x,y)=\sqrt{x^2y^2}$ tienen pendiente positiva, y su pendiente disminuye (en este caso es la MRS): la segunda derivada es negativa, por lo tanto son cóncavas.

Estas son, en ambos casos, las condiciones de convexidad/concavidad que utilizan las segundas derivadas: una función dos veces diferenciable es convexa si y sólo si $f'' \geq 0$ es cóncava si y sólo si la segunda derivada es $f'' \leq 0$ . Eso es todo.

Así que, supongo que ese punto 1) de su conferencia se refiere a los casos más habituales en los que las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa.

---

$^1$ Véase, por ejemplo, Mas Colell, Teoría microeconómica , p. 53.