¿Cómo encontrar el equilibrio competitivo?

Question

Considere la posibilidad de $2$ -Bien, $2$ -economía de intercambio puro donde $A$ está dotado de $(0,5)$ y $B$ está dotado de $(5,0)$ . Si las funciones de utilidad son $u_A = xy$ y $u_B = \min\{x,y\}$ ¿Cuáles son las asignaciones de equilibrio competitivo?

Creo que todos los puntos de la $y=x$ (con la condición de que $x, y \in [0,10]$ ). No tengo una explicación, salvo una observación. Observe, por ejemplo, el siguiente diagrama de cajas de Edgeworth:

$\hspace{5cm}$

El punto $5 \cdot ((0.3,0.3), (0.7,0.7)) = ((1.5, 1.5), (3.5, 3.5))$ parece un equilibrio competitivo con la línea verde como restricción presupuestaria. Me parece que cada punto de $y=x$ será un CE de manera similar.

Podría equivocarme. ¿Cómo puedo encontrar las asignaciones CE de una manera más sistemática, especialmente cuando no puedo diferenciar las funciones?

Answer 1

He aquí un enfoque basado en trucos perezosos que apenas requiere cálculos: En primer lugar, sabemos que cada asignación de equilibrio debe ser Pareto eficiente por el primer teorema del bienestar. Si $B$ consume cantidades diferentes de ambos bienes, digamos $x>y$ entonces $\min\{x,y\}=\min\{y,y\}$ . A menos que $A$ no consume nada del segundo bien, $A$ estarán mejor si reciben una cantidad adicional de $x-y>0$ del primer bien. Se trataría entonces de una mejora de Pareto. En equilibrio, esto no es posible, por lo que $B$ debe consumir la misma cantidad de ambos bienes.

Dado que la dotación total de ambos bienes es la misma, $A$ también debe consumir la misma cantidad de ambos bienes. Pero $A's$ La función de utilidad es diferenciable (fuera de la frontera), y podemos concluir de la condición de que la relación de utilidades marginales es igual a la relación de precios que ambos bienes deben tener el mismo precio.

Por lo que teníamos antes, sabemos que $B$ debe consumir la misma cantidad de ambos bienes. Dado que ambos bienes tienen el mismo precio, $B$ debe gastar la misma cantidad en ambos bienes. Así que $B$ consumirá $(5/2,5/2)$ . Entonces $A$ consumirá el resto, que también es $(5/2,5/2)$ . Por lo tanto, existe un equilibrio único hasta la normalización de los precios.