Buena pregunta, un buen esfuerzo de imaginación.
Sólo algunas observaciones y sugerencias generales, ya que la respuesta podría ser prohibitivamente larga y requerir mucho tiempo, si uno tuviera que hacer todos los cálculos y verificar todos los casos.
1) Todas sus limitaciones presupuestarias describen un descuento en el precio sobre las cantidades, ya que el precio global pagado por cada unidad de un bien disminuirá a medida que aumente la cantidad del mismo. Lo mismo ocurre en el caso $1$ .
En realidad, el precio global de una unidad de bien $i$ llamémoslo $P_i^O$ viene dado por: $$P_i^O= P_i^a+ \frac{P_i^v}{x_i}\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
que evidentemente disminuye a medida que la cantidad $x_i$ aumenta.
Desde un punto de vista intuitivo, ¿cómo puede considerarse este caso? Escribamos la restricción presupuestaria $BC_1$ de la siguiente manera:
$$\sum_{i=1}^n \left( P_i^a+ \frac{P_i^v}{x_i} \right) x_i = \sum_{i=1}^n P_i^a x_i+ \sum_{i=1}^n P_i^v \leq M$$
La última suma es un término independiente de la cantidad $x_i$ , un importe que se paga independientemente de la cantidad del bien.
Propongo que se vea como un "ticket", como si fuera una cantidad fija que se paga al entrar en la tienda del bien que se quiere comprar, y obviamente se trata de un precio (por unidad) que es menor cuanto mayor es la cantidad que se compra.
Desde un punto de vista formal, matemático, este caso es completamente análogo a la restricción presupuestaria lineal habitual, por lo que el tratamiento formal es el mismo.
2) La restricción presupuestaria $BC_2$ por supuesto no permite soluciones en las que no se compre algún bien. En $BC_2$ , $0$ soluciones deben excluirse, y esto se puede ver inmediatamente observando que existe el término
$$\frac{P_i^v}{x_i^2}x_i= \frac{P_i^v}{x_i}$$
que no está definido para $x_i=0$ .
3) Las limitaciones presupuestarias $BC_1$ y $BC_3$ son muy diferentes, ya que en el primer caso se trata de una restricción presupuestaria lineal, mientras que en el segundo se trata de una restricción presupuestaria lineal. $x_i$ en el denominador en el segundo término de la suma se simplifica con el $x_i$ que lo multiplica, en $BC_3$ no hay una simplificación como esa, así que tenemos una función muy diferente, no lineal el precio global no es una función lineal de la cantidad como en $BC_1$ .
Y análogamente para $BC_2$ y $BC_4$ utilizan funciones muy diferentes.
4) Usted escribió
- ¿Hay alguna dificultades matemáticas al resolver funciones de utilidad básicas trío (cobb-doug; subst; compl)?
- ¿Existe alguna alternativa más eficaz que lo que he intentado aquí?
Ha probado formas no lineales de funciones relacionadas negativamente con el precio global $P_i^O$ a la cantidad, como en la ecuación $(1)$ . ¿Por qué no probar el ¿la forma lineal más sencilla?
$$P_i^O= P_i^a- P_i^vx_i.\;\;\;\;(2)$$
De todos modos, por supuesto, los posibles entresijos analíticos de las distintas restricciones presupuestarias sólo se pueden averiguar haciendo los cálculos con varios casos de funciones de utilidad, comprobando si no se produce nada prohibitivamente engorroso.
Lo que podría sugerir para enmarcar el problema es utilizar un forma genérica para el descuento por cantidad es decir, una función general diferenciable $p_i$ en relación con el precio global $P_i^O$ de un buen $i$ a su cantidad, es decir
$$P_i^O= p_i(x_i)$$
con $p'_i <0,$ para todos $i=1,…,n$ .
(Su precio funciona en su $BC$ son casos particulares de esta $p_i$ ).
Formulemos la problema de maximización del consumidor con estos $p_i$ utilizando Multiplicadores de Lagrange (la restricción presupuestaria tomada como una igualdad). Me limito a dos variables.
El problema es
$$max \;\;\;\;U(x_1,x_2)$$
s. t.
$$p_1 (x_1) x_1+p_2(x_2)x_2=M,$$
donde $U$ es una función de utilidad diferenciable con las propiedades habituales.
El Lagrangiano es:
$$\mathcal {L}= U(x_1,x_2)+ \lambda (p_1 (x_1) x_1+p_2(x_2)x_2-M)$$
Estas condiciones de primer orden son:
$$\frac {\partial U(x_1,x_2)}{\partial x_1}+\lambda (p_1(x_1)+p’(x_1) x_1=0.\;\;\;\;(3)$$
$$\frac {\partial U(x_1,x_2)}{\partial x_2}+\lambda (p_2(x_2)+p’(x_2) x_2=0.\;\;\;\;(4)$$
$$p_1 (x_1) x_1+p_2(x_2)x_2-M=0$$ .
Eliminación de $\lambda$ de $(3)$ y $(4)$ que tenemos:
$$\frac {\frac {\partial (U(x_1,x_2)}{\partial x_1}}{\frac {\partial (U(x_1,x_2)}{\partial x_2}}=\frac{p_1(x_1)+p’(x_1) x_1}{p_2(x_2)+p’(x_2) x_2}\;\;\;\; (5)$$
Las condiciones $(5)$ no son muy diferentes de las condiciones habituales de primer orden
$$\frac {\frac {\partial (U(x_1,x_2)}{\partial x_1}}{\frac {\partial (U(x_1,x_2)}{\partial x_2}}=\frac{p_1}{p_2}\;\;\;\; (6)$$
la diferencia es que el segundo lado de la ecuación $(5)$ no es la relación de precios como en $(6)$ pero el cociente de las derivadas de $p_i (x_i) x_i$ con respecto a las cantidades $x_i$ (pero nada sorprendente, salvo el hecho de que estas condiciones no son tan elegantes como de costumbre).
La primera cara de $(5)$ es la misma que en el problema clásico de maximización del consumidor, la razón de utilidades marginales, por lo que no veo dificultades analíticas en escribir estas condiciones de primer orden en el caso de funciones diferenciables como Cobb Douglas.
