Cálculo del PnL de una opción con cobertura delta en un momento dado

Question

En un mundo BS (volatilidad constante, sin costes de transacción, cobertura continua) Si compro o vendo una opción y continuamente delta-hedge, sé cómo calcular el PnL final esperado basado en la volatilidad implícita vs realizada, pero ¿cómo calcular el PnL en algún momento antes del vencimiento de la opción?

Por ejemplo, compro una opción de compra de 20dte al 24% de IV y delta-hedge continuamente. La volatilidad realizada es del 27% (y constante). ¿Cómo calcularía el beneficio esperado dentro de, digamos, 8 días?

Answer 1

Si denotamos el valor de una opción de compra BS por $C(vol, exp)$ entonces sabemos que en cualquier momento $t$ la p/l total esperada incluyendo el valor de la opción y la p/l esperada de la cobertura delta realizada es $$C(0.27, T-t) -C(0.24, T-t) + E(DH(t))$$ donde el último término es el Valor esperado de la actividad de cobertura delta desde el momento 0 hasta el momento $t$ . Esta expresión es constante, ya que lo único que estamos haciendo a lo largo del tiempo es realizar el valor de una opción valorada a 0,27 vol. por lo que podemos equipararla a su valor inicial en $t=0$ que es $C(0.27, T) - C(0.24,T)$ y así $$E(DH(t))= C(0.27,T)-C(0.24,T)-C(0.27,T-t)+C(0.24,T-t)$$

Para simplificar, he supuesto que tanto los dividendos como los tipos de interés son cero.