Problema conceptual de la neutralidad del riesgo: ¿qué es exactamente un "mundo neutral al riesgo"?

Question

Tengo problemas persistentes y profundos con el concepto de "neutralidad del riesgo". Para precisarlo, veamos la siguiente explicación extraída de un libro:

"En un mundo en el que los inversores son neutrales al riesgo, la rentabilidad esperada de todos los valores es el tipo de interés sin riesgo, r. La razón es que los inversores neutrales al riesgo no necesitan una prima que les induzca a asumir riesgos. a asumir riesgos. También es cierto que el valor actual de cualquier flujo de caja en un mundo neutral al riesgo puede obtenerse descontando su valor esperado [en un mundo neutral al riesgo] al tipo sin riesgo". (Hull-Options, Futures, and Other Derivatives, página 245)

Después de decenas de horas de estudio y de buscar en todos los libros/recursos/notas que caían en mis manos, de leer innumerables explicaciones (incluidas todas las relevantes en este mismo foro), debo admitir que sigo sin entender el concepto de "neutralidad al riesgo". En este punto se ha vuelto muy frustrante. Tengo un máster en matemáticas, así que las matemáticas no son el problema; pero, al intentar entender las matemáticas financieras, sigo teniendo problemas con el concepto de "neutralidad al riesgo".

Para concretar, en relación con el citado fragmento del libro de Hull me surgen las siguientes preguntas.

• Se dice: "En un mundo donde los inversores son neutrales al riesgo, el rendimiento esperado de todos los valores es el tipo de interés sin riesgo, r". ¿Por qué es así? Ni siquiera puedo decir si esto es cierto o falso, ya que carezco de la comprensión de la semántica.

• También se dice: "También es cierto que el valor actual de cualquier flujo de caja en un mundo neutral al riesgo puede obtenerse descontando su valor esperado [en un mundo neutral al riesgo] a la tasa libre de riesgo". De nuevo: ¿por qué habría de ser así?

Para mí, no son más que afirmaciones que alguien hace; no puedo comprobar si es cierto o no, ya que no soy capaz de captar la semántica.

Es decir, la pregunta central es: ¿Qué es un "mundo neutro en riesgos"? ¿Puede alguien proporcionarme una definición (o al menos una explicación que desvele la semántica) y, posteriormente, demostrar las afirmaciones de Hull?

Estaría muy agradecido si alguien tuviera una explicación/perspectiva sobre esto que pudiera ayudarme. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Tengo un máster en matemáticas, así que las matemáticas no son el problema; pero, al intentar entender las matemáticas financieras, sigo teniendo problemas con el concepto de "neutralidad del riesgo".

Sospecho que no has entendido la definición de neutralidad al riesgo, así que voy a intentar resumirla:

Un inversor neutral al riesgo es aquel con preferencias neutrales al riesgo - es decir, el que considera que el valor de una inversión incierta es igual a su valor matemático. valor esperado . Por ejemplo, una persona perfectamente neutral al riesgo consideraría que un billete de lotería que tiene un 1% de posibilidades de ganar \$100 (and a 99% chance of being worthless) to be worth exactly \$ 1, ya que el 1% de \$100 is \$ 1.

(Una persona con aversión al riesgo preferiría tener sólo el \$1 garantizado, mientras que una persona que busca el riesgo preferiría prefiera tener el billete de lotería y podría pagar más de \$1 por él).

Y un "mundo neutral al riesgo" es simplemente un mundo hipotético e imaginario en el que se supone que todos los inversores son neutrales al riesgo. Obviamente, no vivimos en un mundo así, pero - como Respuesta de nbbo2 describe con más detalle - a veces, hacer tal suposición de todos modos puede ser justificable (por ejemplo, porque el riesgo puede ser cubierto) y hacerlo puede simplificar las matemáticas.

Answer 2

Un poco de historia. Esto se remonta a los primeros días, cuando se propuso la fórmula de Black Scholes para las opciones, pero aún era nueva y un tanto misteriosa.

Era (y es) ampliamente aceptado en Finanzas que las tasas de rendimiento a largo plazo de las acciones $r$ son superiores al rendimiento de los T-Bills $r_F$ (también conocido como tipo libre de riesgo). Esto tiene sentido porque las acciones son arriesgado y la rentabilidad adicional puede considerarse una compensación por el riesgo. No hay almuerzo gratis: se puede invertir sin riesgo y con baja rentabilidad o se puede obtener mayor rentabilidad aceptando más riesgo. Esto es economía financiera, no matemáticas. Todo el mundo lo entendió en su momento. Hay que aceptarlo (o seguirle la corriente) para entender lo que ocurrió después.

En vista de este hecho bien conocido un gran misterio era por qué la fórmula de Black Scholes implica la tasa libre de riesgo $r_F$ . Al fin y al cabo, las opciones son arriesgadas, quizá más que las acciones en cierto sentido. Así que, ¿no deberían descontarse las opciones a un tipo elevado? De hecho, Black Scholes no fue la primera fórmula para las opciones; hubo otros intentos, como los de Samuelson y Merton, y algunas de estas fórmulas incluían tasas de rentabilidad arriesgadas. (Incluso hoy en día, los usuarios de quant.stackexchange preguntan con frecuencia por qué la fórmula de BSM utiliza la tasa libre de riesgo).

Robert C. Merton, en particular, tuvo que decidir si la nueva fórmula de Black Scholes era correcta, lo que significaría que la idea de Merton-Samuleson de utilizar una tasa de riesgo para valorar las opciones NO era correcta. Merton decidió rápidamente que Black Scholes era correcta e hizo mucho para convencer a la gente de ello. (Más tarde alguien bromearía diciendo que Merton entendió la fórmula BS antes que B y S). Y hoy en día se llama fórmula BSM.

Merton dijo que podemos imaginar un mundo en el que todos los inversores sean neutrales al riesgo. No es el mundo en el que vivimos, en el que los inversores tienen aversión al riesgo. En un mundo así, en equilibrio no hay compensación por el riesgo de las acciones, y éstas (y los activos de riesgo en general) ganan el tipo libre de riesgo. Dado que el riesgo de las opciones puede cubrirse, no importa si valoramos una opción en el mundo sin riesgo o en el mundo real. El mecanismo de cobertura dinámica elimina el riesgo, por lo que no importa si los inversores que lo utilizan tienen aversión al riesgo o no. Por comodidad, podemos suponer un mundo de riesgo neutro a la hora de valorar las opciones . Esto nos lleva a una sencilla derivación de la fórmula BS que utiliza $r_F$ . Entonces podemos decir que la fórmula también es válida en el Mundo Real. Esta idea de utilizar el supuesto de un mundo con riesgo neutro en la derivación fue recogida por Hull y muchos otros. Convenció a la gente de que el uso de una tasa libre de riesgo en la valoración de opciones estaba justificado.

La "Hipótesis RNW" proporcionó una teoría simple del valor de la opción (el valor de la opción es el valor esperado de la retribución en un Mundo Neutral al Riesgo) y justificó la $R_F$ en la fórmula BSM.

Desde el punto de vista operativo, la "Hipótesis RNW" sólo dice: "Si en el cálculo del valor esperado se encuentra la tasa de rendimiento de los activos de riesgo, sustitúyala por la tasa libre de riesgo ". $R_F$ y sigue adelante, llegarás al mismo destino que Black y Scholes".

Answer 3

¿Qué es un "mundo neutro en riesgos"? No es un mundo real, es una construcción puramente matemática que se define por sus afirmaciones (el valor actual de los flujos de caja puede calcularse correctamente descontando a tipos sin riesgo). Construimos este constructo únicamente para facilitar la determinación del precio de determinados contratos financieros, principalmente los derivados. ¿Es eso lo que pregunta?

Answer 4

Olvídese de la neutralidad del riesgo por un segundo y piense en cuál es la definición de un $\mathbb{Q}$ -medida. Es una medida de probabilidad (no necesariamente única) que reproduce los precios de mercado de forma que cualquier activo $Z$ cuando se descuenta en algún numéraire estrictamente positivo $X$ (normalmente una cuenta bancaria) es un $\mathbb{Q}$ -martingale, es decir,

\begin{equation*} \frac{Z_t}{X_t} = E^\mathbb{Q} \Bigg[ \frac{Z_T}{X_T} \Big| \mathcal{F}_t \Bigg] \end{equation*}

El punto aquí es que podemos derivar fácilmente un precio justo libre de arbitraje para cualquier reclamo contingente sin siquiera pensar en cómo puede ser replicado.

Independientemente del numéraire que utilicemos, la deriva bajo el $\mathbb{Q}$ -será igual al tipo sin riesgo. Para comprobarlo, consideremos el precio de un contrato a plazo sobre $Z_T$ . Este es el precio acordado hoy para comprar o vender $Z$ en una fecha futura $T$ que es $E^\mathbb{Q} \Big[ Z_T \big| \mathcal{F}_t\Big]$ . Su valor actual en dinero es $e^{-r(T-t)} E^\mathbb{Q} \Big[ Z_T \big| \mathcal{F}_t\Big]$ Pero, por supuesto, gastar dinero ahora para comprar la entrega en el futuro es equivalente a comprar simplemente al precio spot. $Z_t$ de ahí

\begin{equation*} Z_t = e^{-r(T-t)} E^\mathbb{Q} \Big[ Z_T \big| \mathcal{F}_t\Big] \end{equation*}

o \begin{equation*} E^\mathbb{Q} \Big[ Z_T \big| \mathcal{F}_t\Big] = e^{r(T-t)}Z_t \end{equation*}

Esto es exactamente lo que se obtiene al replicar el contrato a plazo. Usted tomaría prestado $Z_t$ comprar el activo y en una fecha futura deber exactamente $e^{r(T-t)}Z_t$ .

Answer 5

Voy a llevar un poco la contraria y no dar aquí una respuesta real. El término "riesgo neutro" se utiliza para referirse a algo concreto, como la medida del riesgo neutro, o a algo más general, como la fijación de precios con riesgo neutro. Y a veces puede resultar difícil saber en qué caso nos encontramos. En mi opinión, este es un ejemplo de terminología ligeramente engañosa que se ha quedado en un área en desarrollo de las matemáticas/economía que, de nuevo, en mi opinión, todavía no está totalmente madura. La neutralidad del riesgo significa algo, pero a menudo se intenta utilizar los conceptos para tratar de fijar el precio/valor de algo y la idea de neutralidad del riesgo es sólo incidental o posiblemente filosófica. Puede ser útil para algunas personas y encajar bien con la idea de cobertura en mercados completos, pero creo que no es realmente la idea clave, al menos para mí.

A esto se añade el hecho de que este material se utiliza mucho y muchos textos intentan simplificar algunas matemáticas bastante difíciles; a algunas personas les parece bien, pero si eres como yo, estarás más confundido por las omisiones. Tuve que leer la Teoría Fundamental de la Fijación de Precios de los Activos, el Teorema de Girsanov y el Teorema de la Representación de Martingala para sentirme cómodo con las técnicas y el razonamiento que subyacen a la fijación de precios de esta manera. Entender los enunciados de estos teoremas debería ser suficiente. En muchos textos, estos teoremas se pasan por alto porque es aquí donde las matemáticas empiezan a ser realmente profundas. Se puede intentar comprender la intuición que subyace en el término "riesgo neutro", pero en mi opinión, se trata de un pequeño engaño matemático que se justifica por unas matemáticas bastante profundas.