Convexidad de los conjuntos de producción y los conjuntos de requisitos de insumos

Question

La siguiente pregunta procede de Microeconomic Analysis, de Hal R Varian.

¿Verdadero o falso? Si V(y) es un conjunto convexo, entonces el conjunto de producción asociado Y debe ser convexo.

La solución disponible dice;
Falso. Hay muchos contraejemplos. Consideremos la tecnología generada por una función de producción f(x) = x^2. El conjunto de producción es Y = {(y, x) : y x^2} que ciertamente no es convexo, pero el conjunto de requisitos de entrada es V (y) = {x : x y} que es un conjunto convexo.

No consigo entender cómo f(x) = x^2 no es convexa, y V(y) es convexa. ¿Podría alguien explicármelo? Por favor, dar la intuición también :)

Answer 1

Para saber por qué $Y$ no es convexo y $V(y)$ es convexa, recuérdese la definición de conjunto convexo y, a continuación, considerar cuáles son los dos conjuntos $Y$ et $V(y)$ .

Un conjunto (de $R^n$ o de un espacio vectorial más general) es convexo si el segmento que une dos puntos cualesquiera del conjunto está totalmente contenido en el conjunto.

El conjunto $Y=\{(y, -x):y\leq x^2 \}$ es un porción de plano es la parte del plano comprendida entre la gráfica de la función $y=x^2$ y el $x$ eje, si $y\geq 0$ (sólo la parte negativa, si $x\geq 0$ ).

No es convexa, ya que se pueden tomar dos puntos tales que el segmento que los une no pertenezca totalmente a ella.

$V(y)= \{x: x \geq \sqrt y \}$ es, en cambio, un intervalo, un parte de la línea más concretamente, es la media línea $[\sqrt y, +\infty)$ el conjunto de todos los $x$ igual o superior a $\sqrt y$ para un $y$ .

Una semirrecta es un conjunto convexo: si se toman dos puntos cualesquiera de ella, el segmento que los une pertenece a la semirrecta.