Asimetrías en la utilidad de equilibrio

Question

En esta conferencia El profesor dice que todos los Equilibrios de Nash tienen la misma utilidad en el enrutamiento egoísta no atómico, mientras que esto no está garantizado en el enrutamiento egoísta atómico. No está claro hasta qué punto la afirmación pretende ser general.

¿Es esto válido para los juegos en general? Si un juego es jugado por un número suficientemente grande de jugadores casi idénticos, de tal manera que ninguno de ellos tiene "poder de mercado" para manipular significativamente la utilidad, ¿garantiza eso que todos los Equilibrios de Nash tienen idéntica utilidad? ¿Son las asimetrías en la utilidad en los Equilibrios de Nash sólo producto de que al menos un jugador tiene "impacto de mercado" sobre la utilidad? Si es así, ¿cómo se puede ver intuitivamente que este hecho se cumple realmente?

Answer 1

En los "juegos no atómicos" (aquí soy un poco informal), los jugadores que son idénticos tendrán, por lo general, la misma retribución en cada equilibrio. Sin embargo, la retribución puede variar de un equilibrio a otro.

Tomemos el espacio de jugadores a ser $[0,1]$ . Todos los jugadores pueden elegir acciones del mismo espacio $A$ . Existe un conjunto $S$ que describe una estadística resumida de un perfil de acción, como la distribución de la población en las elecciones en $A$ la acción "media", etc. Es importante destacar que este resumen no depende de ningún jugador; todos los jugadores pueden cambiar su comportamiento sin que cambie esta estadística. Todos los jugadores tienen la misma función de pago $v:A\times S\to\mathbb{R}$ . Si existe un equilibrio en un juego de este tipo, vendrá acompañado de algún estadístico resumen de equilibrio $s^*$ en la que ningún jugador puede influir. Entonces cada jugador elegirá la mejor respuesta a $s^*$ y reciben el mismo pago, a saber $\max_A v(\cdot,s^*)$ .

Pero los distintos equilibrios pueden tener estadísticas resumidas diferentes. He aquí un ejemplo: Sea $A=\{0,1\}$ y que cada elemento de $S$ especifican la fracción de jugadores que eligen la acción $1$ . La función de retribución viene dada por $v(a,s)=a-2|a-s|$ . Existe un equilibrio en el que todos juegan $0$ y recibe un pago de $0$ y un equilibrio en el que todos juegan $1$ y recibe un pago de $1$ .