Si los ingresos de todos los individuos de un país se duplican, ¿qué ocurrirá con el coeficiente de Gini?
¿Qué ocurre con el coeficiente de Gini cuando la renta de todos los individuos de un país aumenta en 1000?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sea nuestra variable de interés $x$ que toma valores $x_i, ...., x_n$ para una muestra $1, ...., n$ . Sea $\bar x$ sea la media muestral.
El coeficiente de Gini puede definirse como:
$$\frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i-x_j|}{2 n^2 \bar x}$$
Se trata simplemente de la media de todas las diferencias absolutas por pares entre las observaciones individuales, dividida por la media de la muestra, normalizada para tener un valor máximo de 1 al dividirla por 2.
Como puedes observar, las unidades del numerador y del denominador son iguales, por lo que el cociente en conjunto es sin unidades . Esto es un fuerte indicio de que escalar la variable $x$ no le afectará.
Para ser más precisos, si el conjunto de datos es $kx_1, ...., kx_n$ donde $k>0$ entonces el coeficiente es
$$\frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |kx_i-kx_j|}{2 n^2 k \bar x}$$
$$= \frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n k|x_i-x_j|}{2 n^2 k \bar x}$$
$$= \frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i-x_j|}{2 n^2 \bar x}$$
Que es el mismo que el original, el $k$ ya que el numerador y el denominador se escalan por el mismo factor. Esta propiedad se denomina invariancia de escala .
Para la segunda pregunta, que los nuevos datos sean $x_i + k, ...., x_n + k$ . Esta vez, el coeficiente de Gini es
$$\frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i + k -x_j - k|}{2 n^2 (\bar x + k)}$$
$$= \frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i -x_j|}{2 n^2 (\bar x + k)}$$
$$= \frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i -x_j|}{2 n^2 \bar x} \frac{\bar x}{\bar x + k}$$
$$=OriginalGini * \frac{\bar x}{\bar x + k}$$
Así, cuando la renta de todos aumenta una constante, el coeficiente de Gini disminuye. Este efecto es más pronunciado cuando $\bar x$ es smll para empezar. Y cuando la renta de todos disminuye en una constante, el coeficiente de Gini aumenta. Este efecto es más pronunciado para las distribuciones en las que tenemos una gran $\bar x$ inicialmente.
