Se ha escrito mucho sobre el hecho de que la rentabilidad esperada del activo subyacente no forma parte de la fórmula de Black Scholes. Entiendo el argumento de que el rendimiento del activo subyacente puede cubrirse mediante la cobertura delta y que, por tanto, al agente que ha vendido la opción le es indiferente el rendimiento del activo subyacente.
Pero tengo algunas dudas sobre cómo la rentabilidad esperada podría influir en la gamma esperada realizada del concesionario y, en consecuencia, en el valor razonable de la opción. He aquí un ejemplo:
Escenario 1: Black Scholes estándar:
- Supongamos que el intermediario vende una opción de compra a 2 años sobre una acción con un precio actual de 100 dólares, un precio de ejercicio de la opción de 120 dólares y una volatilidad implícita del 10%. Supongamos que el tipo libre de riesgo es cero.
- Según la fórmula estándar de Black Scholes, suponiendo que la deriva sea el tipo libre de riesgo, que en este caso es cero, se necesitaría una desviación típica del movimiento de la acción de 2 para que la opción se convirtiera en at-the-money.
- Se espera que las pérdidas del corredor por estar corto de gamma (y realizadas mediante cobertura delta constante) sean bastante bajas porque el delta de la opción de compra es bajo y lo mismo ocurre con la gamma. Sólo las pocas trayectorias de rentabilidad del movimiento browniano en las que la acción se comporte extraordinariamente bien estarán en una zona en la que delta y gamma sean altas.
Escenario 2: Cuando se utiliza una rentabilidad esperada
- Aunque si la rentabilidad esperada fuera, digamos, del 10%, a lo largo del periodo de 2 años la deriva sería del 10% * 100 dólares * 2 = 20 dólares, de modo que el centro de la distribución de probabilidad al vencimiento de la opción estaría ahora en el dinero (120 dólares).
- Soy muy consciente de las dificultades que entraña medir (o incluso definir) la rentabilidad esperada de un activo. Pero para este ejemplo, ¿podemos suponer que el 10% es la rentabilidad esperada real?
- Esto significa que el delta de la opción sería mucho mayor. La posición corta gamma del vendedor también sería mucho mayor (en términos absolutos) y el vendedor esperaría perder mucho más por estar corto gamma porque ahora una proporción mucho mayor de las posibles trayectorias de movimiento browniano de la acción estarán en una región de precios donde delta y gamma son altos.
Si consideramos que la opción tiene un precio fijado por el distribuidor y que éste vende la opción al menos al valor esperado de su PnL a partir de la cobertura delta dinámica a través de todas las trayectorias de rentabilidad del movimiento browniano, entonces ¿no debería diferir el precio de la opción entre el Escenario 1 y el Escenario 2?
¿No esperaría el vendedor una prima de opción más alta si supiera que la rentabilidad esperada es del 10% en lugar del tipo libre de riesgo de cero?
