Fórmula simplificada para la duración del swap de tipos de interés

Question

Consideremos el instrumento de permuta de tipos de interés simple como una permuta de tipos de interés con vencimiento a 5 años. He encontrado una simplificación interesante para calcular la duración de dicho swap como,

$\frac{\left(1 - e^{-r_t * T}\right)}{r_t}$

En la expresión anterior $r_t$ es el nivel actual del tipo de interés y $T$ es el vencimiento del swap, en este caso 5.

¿Podría por favor ayudar a obtener una explicación de cómo el duration ¿Qué aspecto tiene un swap de tipos de interés? Además, es tal aproximación es aplicable sólo ingenuo fixed vs floating ¿intercambio de tipos de interés?

Answer 1

Es una aproximación interesante, aún no la he visto.

El PV de un IRS fijo por flotante, en un mundo de curva única, es:

$$ PV=\sum_i\Delta^{float}_iF_iD(t_i)-q\sum_j\Delta^{fix}_jD(t_j)=1-D(t_n)-q\sum_j\Delta^{fix}_jD(t_j) $$

La primera derivada respecto a un desplazamiento paralelo es

$$ \frac{\partial PV}{\partial r}=t_nD(t_n)+q\sum_j\Delta_j^{fix} t_jD(t_j) $$

A partir de aquí, se pueden derivar todo tipo de simplificaciones, una de las cuales es

$$ \frac{\partial PV}{\partial r}\approx t_n $$

Si ahora tomamos su fórmula y Taylor ampliar, llegamos a:

$$ \frac{1-e^{-r_nt_n}}{r_n}=\frac{1-\left(1-r_nt_n+O(r_n^2t_n^2)\right)}{r_n}\approx t_n $$

Lo que arroja un resultado de aproximación similar.