Cómo hallar la función de costes a partir de la producción de leontief

Question

He visto que se hacen el mismo tipo de preguntas, pero soy nuevo en este tema, así que no he podido entenderlo del todo.

así que básicamente para esa función de producción:

$$ f(x_1,x_2) = min \{ 2x_1 +x_2 , x_1 +2x_2 \} $$ cuál es la manera de encontrar $C(w,y)$ ?

Answer 1

El problema de minimización de costes de la empresa se define del siguiente modo: \begin{eqnarray*} \min_{x_1\geq 0, x_2\geq 0} & w_1x_1+w_2x_2 \\ \text{s.t. } & \min(2x_1+x_2, x_1+2x_2) = y \end{eqnarray*} donde $w_1>0$ , $w_2>0$ , $y>0$ se dan. He aquí el gráfico del conjunto de restricciones:

Obsérvese que la solución al problema anterior viene dada por: \begin{eqnarray*} (x_1^c, x_2^c) \in \begin{cases} \left\{(y,0)\right\} & \text{if } \frac{w_1}{w_2} < \frac{1}{2} \\ \left\{t(y,0)+(1-t)\left(\frac{y}{3},\frac{y}{3}\right)|0\leq t\leq 1\right\} & \text{if } \frac{w_1}{w_2} = \frac{1}{2} \\ \left\{\left(\frac{y}{3},\frac{y}{3}\right)\right\} & \text{if } \frac{1}{2} < \frac{w_1}{w_2} < 2 \\ \left\{t(0,y)+(1-t)\left(\frac{y}{3},\frac{y}{3}\right)|0\leq t\leq 1\right\} & \text{if } \frac{w_1}{w_2} = 2 \\ \left\{(0,y)\right\} & \text{if } \frac{w_1}{w_2} > 2\end{cases} \end{eqnarray*}

En consecuencia, la función de coste (que es el coste óptimo) es \begin{eqnarray*} C(w_1,w_2,y) = \begin{cases} w_1y & \text{if } \frac{w_1}{w_2} \leq \frac{1}{2} \\ (w_1+w_2)\frac{y}{3} & \text{if } \frac{1}{2} < \frac{w_1}{w_2} < 2 \\ w_2y & \text{if } \frac{w_1}{w_2} \geq 2\end{cases} \end{eqnarray*}