Posibilidades en la elección social: ¿número de posibles funciones de decisión colectiva?

Question

Conozco muchos trabajos sobre la demostración de la existencia (o la imposibilidad) de una regla de elección social que satisfaga un conjunto de propiedades.

Sin embargo, me preguntaba si había alguna referencia que intentara responder a la siguiente pregunta: dado un conjunto de desideratas, ¿cuál es el cardinal del conjunto de funciones de agregación?

Los desiderata en cuestión podrían ser cualquier cosa:

• Una determinada estructura de preferencias a nivel individual o social
• El dominio universal habitual, la propiedad de Pareto, la independencia de las alternativas irrelevantes...

Sé que en la literatura hay muchas distinciones entre las diferentes propiedades de la función de agregación (SWF, SWFL, regla de elección colectiva...). Sólo estoy interesado en cualquier resultado que se refiera a una función de agregación de cualquier tipo, es decir, algo que tome un perfil de las preferencias de los votantes y devuelva una elección (o una racionalización de la elección, como una preferencia social).

Lo que busco es cualquier resultado que diga algo como lo siguiente:

• Dada alguna restricción en la regla de agregación (como decir que es una función de bienestar social) el número de SWF que satisfacen algún conjunto de propiedades es ...
• Hay estrictamente más RCC satisfactoria ... que SWF. (Es trivial cuando hay una imposibilidad para SWF y no para CCR, pero tal vez esto es cierto siempre que hay una posibilidad para SWF también).

Answer 1

No se me ocurre ningún teorema que se centre específicamente en la número de reglas de agregación social (de algún tipo) que satisfacen los axiomas X , Y y Z . Sin embargo, aparte de los teoremas de imposibilidad, la mayoría de los teoremas de la teoría de la elección social entran en una de estas dos categorías:

1. Una caracterización axiomática de un solo regla, por ejemplo, "Regla F es el único regla que satisface los axiomas X , Y y Z ."
2. Una caracterización axiomática de un bien definido familia de reglas, por ejemplo, "Reglas de clase C son los sólo reglas que satisfacen los axiomas X , Y y Z ."

En el primer caso, el "número" de reglas es obviamente un que no es muy interesante. En el segundo caso, la clase C suele definirse mediante uno o varios "parámetros", por lo que el número de reglas en C es sólo el número de valores válidos de los parámetros. Como estos parámetros suelen ser números reales, esto significa que el número de reglas en C suele ser infinito. De hecho, preguntar por la "cardinalidad" de C generalmente no es la pregunta correcta. La pregunta correcta es la dimensión del espacio de los parámetros.

Por ejemplo: supongamos que C es el conjunto de reglas de puntuación en un conjunto de N alternativas (por ejemplo, la regla Borda, la regla de la (anti)pluralidad, etc.). Cualquier regla de puntuación se define por N números: las "puntuaciones" $s_1\leq s_2\leq \cdots \leq s_N$ asignado a la N posibles rangos en el orden de preferencia de cualquier votante. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $s_1=0$ y $s_N=1$ . Además, como las puntuaciones son una secuencia creciente, están completamente descritas por la puntuación diferencias $\delta_1=s_2-s_1=s_2$ , $\ \delta_2=s_3-s_2$ , $\ldots$ , $\delta_{N-1}=1-s_{N-1}$ . Observe que $\delta_1+\cdots+\delta_{N-1}=1$ . En otras palabras, el vector $(\delta_1,\ldots,\delta_{N-1})$ es un elemento del probabilidad simplex $\Delta^{N-1}$ que es un conjunto convexo de dimensión $N-2$ .

A partir de esta parametrización, vemos que la cardinalidad del conjunto de reglas de puntuación es $\beth_1$ . Pero la parametrización es mucho más informativa que la cardinalidad.