¿Cómo se definen los rendimientos de escala de una función de producción no homogénea?

Question

La mayoría de las funciones de producción que se encuentran en Microeconomía Intermedia son homogéneas (Cobb-Douglas, sustitutos perfectos, complementos perfectos).

Así que sus rendimientos a escala son fáciles de obtener, comparando su grado de homogeneidad con $1$ .

Sin embargo, ¿cómo definiría los rendimientos a escala de funciones no homogéneas como ésta?

$f(L,K) = \alpha K^2 L^2 - \beta K^3 L^3, \alpha >0, \beta > 0$

Lo que hice fue definir la "función de retorno a escala", para $t>1$ :

$R(L,K;t) = f(tL,tK) - t f(L,K)$ , lo que daría los rendimientos a escala según estos casos:

• $R>0 \implies $ Aumento de los rendimientos de escala
• $R=0 \implies $ Rendimientos constantes de la escala
• $R<0 \implies $ Rendimientos decrecientes de la escala

Para esta función obtendríamos

$R(L,K;t) = t^4 \alpha K^2 L^2 - t^6 \beta K^3 L^3 - t \alpha K^2 L^2 + t \beta K^3 L^3$

Factorización $t K^2 L^2$ ,

$R(L,K;t) = t K^2 L^2 (t^3 \alpha - t^5 \beta K L - \alpha + \beta K L)$

Factorización $\beta KL$ de los términos segundo y cuarto obtenemos,

$R(L,K;t) = t K^2 L^2 (t^3 \alpha - \alpha + (1-t^5) \beta K L)$

Desde $t K^2 L^2$ no puede ser negativo, el signo de $R$ es el mismo signo que

$S(L,K;t):=t^3 \alpha - \alpha + (1-t^5) \beta K L$

Pour $KL > \frac{\alpha}{\beta}$ , ya que $t>1 \implies 1-t^5 <0$ ,

$S(L,K;t) < t^3 \alpha - \alpha + (1-t^5) \alpha$

Factorización $\alpha$ ,

$S(L,K;t) < \alpha (t^3 - t^5)$

Desde $\alpha > 0$ y $t>1$ , lo anterior es negativo.

Esto implica que para $KL > \frac{\alpha}{\beta}$ tenemos que $S<0$ y por lo tanto $R<0$ .

Por lo tanto, la función de producción $f$ ¿tiene (debería tener) rendimientos decrecientes a escala?

Intenté hacer algo similar con $g(L,K) = \exp{(KL)}$ y $h(L,K) = \log{(KL)}$ pero no pudo obtener límites inferiores uniformes para $K,L$ (que no dependen de $t$ ).

Answer 1

La definición estándar es que una función de producción $F(\vec{x})$ tiene rendimientos de escala constantes, crecientes o decrecientes si $F(a\vec{x})$ es igual, mayor o menor que $a F(\vec{x})$ (respectivamente) para todo números positivos $a$ y los vectores de entrada $\vec{x}$ .

De ello se desprende que cualquier función de producción homogénea tiene rendimientos a escala bien definidos y determinados por su grado de homogeneidad. Pero una función de producción genérica no homogénea no tendrá necesariamente rendimientos a escala bien definidos.

Aunque, por lo que sé, no se trata de un uso estándar, es posible que haya alguna forma de definir los "rendimientos locales a escala" en un conjunto determinado de entradas $\vec{x}_0$ considerando cómo la dilatación $\vec{x}_0$ por una cantidad infinitesimal $1+\epsilon$ (con $0 < \epsilon \ll 1$ ) cambia el valor de $F$ cerca del punto $\vec{x}_0$ .

Answer 2

Me parece interesante la propuesta de Nicolás Torres de una forma, a través de $R$ de medir los rendimientos a escala. Pero, en realidad, el problema es que no puede ser una medida global, ya que puede cambiar de un punto a otro de la función de producción. Pero, además, la definición habitual no puede dar una medida "global" de los rendimientos a escala para funciones que no son homogéneas. Por ello, tparker propone una medida "local" de los rendimientos a escala.

En realidad, la sugerencia de tparker de una medida "local" de rendimientos a escala parece similar a una derivada direccional, en una dirección tal que todos los factores aumenten en la misma proporción, es decir, que deje constantes las relaciones de los productos. Pero cómo comparar esta derivada con $t f(K,L,...)$ ¿para establecer si el rendimiento de la escala es constante o creciente o decreciente?

Sin embargo, en la literatura existe una propuesta similar de una medida local de rendimientos a escala.

Una medida local de los rendimientos a escala es el elasticidad de escala que fue introducido por Frisch, y es una medida del aumento porcentual de la producción debido a un aumento porcentual unitario de todos los insumos. Formalmente se define como:

$$\epsilon=\frac{df(\lambda x)}{d \lambda} \frac{\lambda}{f(\lambda x)}$$

calculado para $\lambda=1$ , donde $\lambda$ es un parámetro positivo.

Véase el siguiente artículo de Wikipedia (siento que el siguiente artículo no esté en inglés, pero no encuentro un artículo equivalente de Wikipedia en inglés).

https://it.wikipedia.org/wiki/Elasticit%C3%A0_di_scala

Y hay una literatura sobre este tema, ver por ejemplo:

https://www.jstor.org/stable/40751123

O, más recientemente, (2020)

https://link.springer.com/referenceworkentry/10.1007/978-981-10-3450-3_23-1