Límite de BSM Gamma cuando el precio de las acciones llega a 0

Question

BSM da la siguiente fórmula para la gamma de la opción $$ \Gamma = \frac{e^{-qT-\frac{d_1^2}{2}}}{S\sigma\sqrt{2\pi T}} $$ donde $$ d_1=\frac{\ln\frac{S}{K}+(r-q+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}} $$ Entonces, para calcular su límite como $S\rightarrow 0^+$ la clave está en calcular $$ \lim_{S\rightarrow 0^+}\frac{e^{-\frac{d_1^2}{2}}}{S} $$ Desde $d_1\rightarrow-\infty$ como $S\rightarrow 0^+$ Estoy pensando en usar la regla de L'Hopital. Sin embargo, cada vez que uno toma una derivada parcial de $e^{-\frac{d_1^2}{2}}$ con respecto a $S$ habrá otro $S^{-1}$ apareciendo desde $$ \frac{\partial d_1}{\partial S}=\frac{1}{S\sigma\sqrt{T}} $$ Por lo tanto, ¿alguien sabe cómo calcular el límite (sé que debería ser 0)? Un problema similar es cómo calcular el siguiente límite? $$ \lim_{S\rightarrow +\infty}\frac{e^{-\frac{d_1^2}{2}}}{\frac{1}{S}} $$

Answer 1

¿Qué tal si expresas $S$ en términos de $d_1$ y luego se introduce esta fórmula en el denominador de su límite, entonces se toma el límite como $d_1$ tiende al infinito negativo (en lugar de tomar el límite en S).