¿Cuál es la definición correcta de monotonicidad débil?
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$(x \geq y \implies x \succeq y) \land (x > y \implies x \succ y)$
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$x \geq y \implies x \succeq y$
La primera definición no permite $(3,3,1) \sim (1,1,0)$ mientras que el segundo lo hace.
Respuesta
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La monotonicidad (débil) capta la idea de que una preferencia es no decreciente , es decir, si el haz $x$ no contiene menos cantidades de cada bien que el paquete $y$ entonces $x$ es al menos tan bueno como $y$ . Por lo tanto, es coherente con la segunda definición que tiene.
En cambio, la monotonicidad estricta (o fuerte) recoge la idea de que una preferencia es estrictamente creciente es decir, si un paquete $x$ no contiene menos cantidades de cada bien y estrictamente más cantidades para algunos bienes que el paquete $y$ entonces $x$ es estrictamente mejor que $y$ . Esto se define comúnmente (por ejemplo, en MWG o Kreps) como
$(x\ge y \wedge x\ne y)\Rightarrow x\succ y$ .
Su definición (1) de monotonicidad tiene una "fuerza" intermedia en cuanto a su condición de preferencia estricta. Por un lado, descarta casos como $(3,3,1)\sim (1,1,0)$ que es permisible bajo la versión débil anterior. Por otro lado, su definición (1) permite casos como $(3,3,1)\sim(3,1,0)$ lo que no es admisible en la versión estricta a la MWG/Kreps.
La versión que se utilice dependerá del contexto y no de los significados generales que transmiten las etiquetas "débil" y "fuerte"/"estricto".
