Predominio del riesgo en el NE

Question

Estoy tratando de entender la idea de la dominación del riesgo, pero no estoy seguro de si lo que estoy pensando es correcto o no.

A

B

A

80, 80

80, 0

B

0, 80

100, 00

La solución dice que la dominancia del riesgo aquí es (A, A), y explica que es más costoso pensar erróneamente que estamos jugando B que pensar erróneamente que estamos jugando A. Este es mi proceso de pensamiento hasta ahora.

El jugador 1 preferiría quedarse con A para obtener un pago de 80, en lugar de ir por B con la posibilidad de obtener 100 pero también con la posibilidad de no obtener nada con 0. Lo mismo para el jugador 2 - también quiere quedarse con A para obtener un pago de 80 en lugar de arriesgarse por 100 o nada.

Ahora viene este ejemplo, que es donde estoy verdaderamente confundido.

A

B

A

80, 80

0, 0

B

0, 0

100, 100

La solución dice que la respuesta es (Abajo, Derecha), que es (100, 100). Este es mi proceso de pensamiento para este ejemplo. Supongamos que somos el jugador 1. Vamos a jugar con A y pensamos que el jugador 2 también va a ir por A, pero acaba yendo por B. Eso significa que estamos perdiendo por 80 - 0 = 80. Supongamos ahora que vamos a jugar con B y que pensamos que el jugador 2 también va a por B, pero se decanta por A. Eso significa que estamos perdiendo por 100 - 0 = 100. Esto es simétrico para el jugador 2 también. Así que perder por 80 y 100... obviamente, perder 80 apesta menos que perder 100.

¿Es correcto mi proceso de pensamiento? Muchas gracias.

Answer 1

Tomemos una simetría genérica $2\times2$ juego como se indica a continuación: $$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline &A&B\\\hline A&a,a & b,c \\\hline B&c,b & d,d \\\hline \end{array} $$ donde $a,b,c,d \in \mathbb R$ son distintos. Supongamos además que $(A,A)$ y $(B,B)$ son NEs de estrategia pura. Por definición, $(A,A)$ el riesgo domina $(B,B)$ si y sólo si $$a-c>d-b\,, \tag{1}$$ y la dirección de la dominación se invierte con la desigualdad.

Ahora considere la afirmación

es más costoso pensar erróneamente que estamos jugando $B$ que pensar erróneamente que estamos jugando $A$ .

Supongamos que el jugador 2 juega $A$ pero el jugador 1 por error cree que el jugador 2 está jugando $B$ . Esa creencia errónea llevaría al jugador 1 a jugar $B$ que hace que el jugador 1 se desvíe del equilibrio $(A,A)$ y supone un coste de $a-c$ . Del mismo modo, si el jugador 1 piensa erróneamente que el jugador 2 jugaría $A$ mientras que el segundo está jugando $B$ El coste de desviarse de la $(B,B)$ el equilibrio sería $d-b$ .

Si introduces los números de tu primer ejemplo, la afirmación anterior corresponde a la condición $(1)$ a saber, $$a-c=80-0>100-80=d-b$$ haciendo así $(A,A)$ el riesgo dominante NE.

En el segundo ejemplo, los números resultan ser $$a-c=80-0<100-0=d-b$$ que invierte la desigualdad en $(1)$ , haciendo que $(B,B)$ riesgo dominante. La interpretación es simétrica a la del primer ejemplo:

es más costoso pensar erróneamente que estamos jugando $A$ que pensar erróneamente que estamos jugando $B$ .