Macroeconomía / Ecuaciones diferenciales

Question

Podría alguien ayudarme a resolver la siguiente ecuación diferencial:

$\dot L(t) = nL(t) + b$ con $n>0$ , $b>0$ , $L(O)R$

$\dot L(t)=$ la derivada temporal de $L(t)$

Answer 1

Nota: En lugar de " $L$ ", voy a nombrar la función " $y$ "ya que estoy más acostumbrado.

Para una función $y = y(t)$ tenemos la ecuación diferencial

\begin{equation} y' = ny + b \end{equation}

Ponemos la ecuación en la forma $y' + p(t)y = q(t)$ restando $ny$ de ambos lados

\begin{equation} y'-ny=b \end{equation}

Obsérvese que la ecuación tiene ahora la forma $y' + p(t)y = q(t)$ con $p(t) = -n, q(t) = b$ . Multiplicamos la ecuación por el factor integrador $\mu = e^{\int p(t) dt} = e^{\int - n dt} = e^{-nt}$ .

\begin{equation} e^{-nt} y' - n e^{-nt} y = b e^{-nt} \end{equation}

Con esto, podemos escribir el lado izquierdo como una derivada a través de la regla del producto

\begin{equation} \frac{d}{dt}[e^{-nt} y] = b e^{-nt} \end{equation}

ÏIntegración de ambas partes

\begin{equation} e^{-nt} y = \int b e^{-nt} dt \end{equation}

\begin{equation} e^{-nt} y = - \frac{b}{n} e^{-nt} + C \end{equation}

Aislamiento $y,$ la solución general es

\begin{equation} y(t) = - \frac{b}{n} + C e^{nt} \end{equation}

Escrito de forma más elegante

\begin{equation} y(t) = C e^{nt} - \frac{b}{n} \end{equation}

Si tenemos una condición inicial $y(0) = y_{0},$ podemos encontrar el valor de $C.$

Evaluando la ecuación en $t=0$

\begin{equation} y(0) = C e^{n \cdot 0} - \frac{b}{n} \end{equation}

\begin{equation} y_0 = C - \frac{b}{n} \end{equation}

Aislamiento $C$

\begin{equation} y_0 + \frac{b}{n} = C \end{equation}

Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es

\begin{equation} y(t) = (y_0 + \frac{b}{n}) e^{nt} - \frac{b}{n} \end{equation}

Answer 2

Enfoque alternativo:

Para una función $y = y(t)$ tenemos la ecuación diferencial

\begin{equation} y' = ny + b \end{equation}

Para obtener la forma de una ecuación diferencial lineal, restamos $ny$

\begin{equation} y' - ny = b \end{equation}

Primero buscamos una solución a la ecuación homogénea correspondiente

\begin{equation} y' - n y = 0 \end{equation}

Comenzamos buscando una solución de la forma $y = e^{rt}$ y encontrar $r$ . Sustituimos esta expresión en la ecuación

\begin{equation} r e^{rt} - n e^{rt} = 0 \end{equation}

Factorización $e^{rt}$

\begin{equation} e^{rt} (r - n) = 0 \end{equation}

Desde $e^{rt} \neq 0,$

\begin{equation} r - n = 0 \end{equation}

Aislamiento $r$

\begin{equation} r = n \end{equation}

Por lo tanto, la solución de la ecuación homogénea es (Dado que cada valor de r da una función base para la solución homogénea)

\begin{equation} y_{H} = C e^{nt} \end{equation}

Como el lado derecho de la ecuación lineal (segunda línea) es un polinomio de grado 0, buscamos un polinomio de grado 0 para nuestra solución particular $y_{P} = A$ . Ahora queremos resolver para $A$ . Sustituyendo esta expresión en la ecuación

\begin{equation} -nA = b \end{equation}

Aislamiento $A$

\begin{equation} A = - \frac{b}{n} \end{equation}

Por lo tanto, nuestra solución particular es

\begin{equation} y_{P} = - \frac{b}{n} \end{equation}

Obtenemos la solución general como la siguiente

\begin{equation} y(t) = y_{H} + y_{P} = C e^{nt} - \frac{b}{n} \end{equation}

Si tenemos una condición inicial $y(0) = y_{0}$ El valor de $C$ todavía se puede encontrar como en mi respuesta anterior para obtener

\begin{equation} y(t) = (y_{0} + \frac{b}{n}) e^{nt} - \frac{b}{n} \end{equation}

Nota: Si la solución de la ecuación homogénea contuviera un término constante (haciéndolo un múltiplo de nuestro candidato original $y_P$ ), debemos haber buscado una solución particular $\hat{y_{P}} = t y_{P} = At$ y aún así resolver para $A$ .

Answer 3

Un tercer enfoque posible, para hacer la vida más fácil, tal vez.

La ecuación

$$\dot L(t) = nL(t) + b\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;(1)$$

es un lineal de primer orden (no homogénea) ecuación diferencial, es decir una ecuación de la forma

$$y'+a(t)y=g(t)\;\;\;\; \;\;\;\; a\in \mathbb{R}\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;(2)$$ donde $g(t)$ y $a(t) \in C^0(I), I \subset \mathbb{R}$ son funciones conocidas.

Para este tipo de ecuaciones existe un fórmula de la solución . La fórmula es:

$$y(t)=e^{-A(t)}[c_1+\int g(t) e^{A(t)}\, dt]\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

donde

$$A(t)=\int a(t)\, dt$$

anc $c_1$ es una constante arbitraria, por lo que la fórmula $(3)$ , variando $c_1$ en $\mathbb{R}$ , da soluciones infinitas de $(2)$ En este sentido, se denomina solución general.

Podemos aplicar inmediatamente esta fórmula para encontrar la solución de $(1)$ , donde

$$a(t) =-n, g(t)= b$$ .

Cuál es el mejor método para resolver una ecuación es cuestión de gustos, si uno prefiere recordar la fórmula, a riesgo de equivocarse, o si prefiere seguir todo el procedimiento con el factor integrador.

Recurriendo a la condición inicial tenemos entonces la solución particolar, como es habitual .