¿Cómo es que un proceso de tipo de cambio es una martingala bajo cualquier medida?

Question

Supongamos un proceso para el precio de las acciones de una empresa con sede en EE.UU. que se negocia en este país, bajo el numerario del mercado monetario en USD:

$$dS_t=S_tr_{USD}dt+S_t\sigma_SdW_1(t)$$

Usando el teorema fundamental de la fijación de precios de los activos, debemos tener eso:

$$\frac{S_0}{B_{USD}(t_0)}=\frac{S_0}{1}\stackrel{?}{=}\mathbb{E}^Q_{USD}\left[\frac{S_t}{B_{USD}(t)}\right]=\mathbb{E}^Q_{USD}\left[\frac{S_0e^{r_{USD}t-0.5\sigma_S^2t+\sigma_SW_1(t)}}{e^{r_{USD}t}}\right]=S_0$$

Así que claramente, el proceso descontado para $S_t$ es una martingala bajo $B_{USD}(t)$ como numerario.

Supongamos que estoy interesado en el tipo de cambio entre el USD y el EUR, y denoto el proceso que describe cuántas unidades de USD necesito pagar por 1 unidad de EUR como $X_t$ (es decir, de forma análoga al proceso $S_t$ que me dice cuántas unidades de USD tengo que pagar por 1 unidad de $S_t$ ).

Deja que el proceso de $X_t$ sea la siguiente:

$$dX_{EUR\rightarrow USD}(t)=(r_{USD}-r_{EUR})X_{EUR\rightarrow USD}(t)dt+\sigma_XX_{EUR\rightarrow USD}(t)dW_2(t)$$

El avance en $X_t$ se denota como $F(X_t)=\mathbb{E}_{USD}^Q[X_t|X_0]$ .

La condición de no arbitraje en el forward es trivial: $$F(X_{EUR\rightarrow USD}(t))=\frac{e^{r_{USD}t}}{e^{r_{EUR}t}}X_{EUR\rightarrow USD}(t_0)$$

Es evidente que esta condición se cumple porque $$\mathbb{E}_{USD}^Q[X_t|X_0]=\mathbb{E}_{USD}^Q[X_0e^{r_{USD}t-r_{EUR}t-0.5\sigma_X^2t+\sigma_XW_2(t)}]=X_0e^{r_{USD}t-r_{EUR}t}=\frac{e^{r_{USD}t}}{e^{r_{EUR}t}}X_{EUR\rightarrow USD}(t_0)$$

Pero es evidente que, con el numerario del USD, el proceso de descuento de $X_t$ NO es una martingala, ya que :

$$\frac{X_0}{1}\stackrel{?}{=}\mathbb{E}^Q_{USD}\left[\frac{X_t}{B_{USD}(t)}\right]=\mathbb{E}^Q_{USD}\left[\frac{X_0e^{r_{USD}t-r_{EUR}t-0.5\sigma_X^2t+\sigma_XW_2(t)}}{e^{r_{USD}t}}\right]=X_0e^{-r_{EUR}t}\neq X_0$$

Así que el proceso para $X_t$ no puede ser un proceso válido bajo la $B_{USD}(t)$ numeraire. No sería un proceso válido bajo la $B_{EUR}(t)$ numeraire tampoco, porque de nuevo, si se descuenta por el numeraire EUR, no sería una martingala.

¿Dónde está el truco aquí?

Answer 1

El problema es que cuando una acción paga dividendos, por ejemplo, mediante una rentabilidad de dividendos compuesta continuamente $q$ entonces $$\frac{dS_t}{S_t}=r_{USD}\,dt\color{red}{-q\,dt}+\sigma\,dW_t\,,$$ y $S_te^{-r_{USD}t}$ tampoco es ya una martingala. Gracias a Dios esto se puede arreglar porque cuando se añade a esto el valor presente de los dividendos pagados entonces el proceso $$M_t=S_te^{-r_{USD}t}+\int_0^tqS_ue^{r_{USD}(t-u)}\,du$$ es una martingala. Ver esta respuesta .

Ahora, el tipo de cambio. La conocida SDE $$\frac{dX_t}{X_t}=r_{USD}\,dt\color{red}{-r_{EUR}\,dt}+\sigma\,dW_t$$ sugiere que $r_{EUR}$ es la rentabilidad de los dividendos compuesta y continua que se recibe cuando se tiene una unidad de $X_t$ que es el precio de un euro en dólares.

Esto tiene mucho sentido porque cuando tenemos 1 euro en efectivo podemos decir que tenemos $X_t$ USD y recibimos $r_{EUR}$ por tiempo y participar en los dividendos de la tenencia de ese efectivo.

Para abreviar la historia: $X_te^{-r_{USD}t}$ no es una martingala sino $$M_t=X_te^{-r_{USD}t}+\int_0^tr_{EUR}X_ue^{r_{USD}(t-u)}\,du$$ es uno.