Demuestre que el coste marginal de la producción total es igual al coste marginal de las producciones individuales de las plantas

Question

Supongamos que los máximos/mínimos existen en todos los casos referidos (es decir, se cumplen las condiciones secundarias necesarias). $p$ es la demanda inversa, $c_i(q_i)$ son las funciones de costes de las plantas que tiene una determinada empresa, y $c(q)$ es la función de coste total de la empresa.

Supongamos que $q = q_1 + q_2$ y tenemos que maximizar $\pi(q) = p(q)q - c_1(q_1) - c_2(q_2)$ . La maximización se mantiene en $(q_1, q_2, q)$ que satisface MR $(q)$ = MC $_1(q_1)$ = MC $_2(q_2)$ tal que $q = q_1 + q_2$ .

Conjeturé que en el punto óptimo, $c'(q) = c_1'(q_1) = c_2(q_2)$ tiene donde $c(q) = \min[c_1(q_1) + c_2(q_2)] \text{ subject to } q = q_1+q_2$ . En otras palabras, MC $(q)$ = MC $_1(q_1)$ = MC $_2(q_2)$ en el punto óptimo.

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Considere $\min_{q_1,q_2} c_1(q_1)+c_2(q_2)$ st $q_1+q_2=q$ . La solución a este problema es $(q_1^m(q),q_2^m(q))$ y satisfacen \begin{equation} q_1^m(q)+q_2^m(q)=q \end{equation} \begin{equation} c_1'(q_1^m(q))=c_2'(q_2^m(q)) \end{equation}

Considere $\max_{q_1,q_2}p(q)q-c_1(q_1)-q_2(q_2)$

Dejemos que $\hat{q}_1$ y $\hat{1}_2$ sea la solución. Tenemos

\begin{equation} c_1'(\hat{q}_1)=c_2'(\hat{q}_2)=MR(\hat{q}_1+\hat{q}_2) \end{equation}

Dejemos que $\hat{q}:=\hat{q}_1+\hat{q}_2$ . ¿Qué es? $(q_1^m(\hat{q}),q_2^m(\hat{q}))$ ? Afirmo que es $(\hat{q}_1,\hat{q}_2)$ para ver esto, conecte $q=\hat{q}$ y $q_1^m=\hat{q}_1$ y $q_2^m=\hat{q}_2$ en las dos primeras ecuaciones. Se satisfacen. Por lo tanto, $(q_1^m(\hat{q}),q_2^m(\hat{q}))=(\hat{q}_1,\hat{q}_2)$ .

La última parte de la pregunta, es qué es $\frac{d}{dq}c(q)$ ? Se trata de una aplicación directa del Teorema de la Envolvente. El Lagrangiano del primer problema es

$$c_1(q_1)+c_2(q_2)+\lambda(q-q_1-q_2)$$

El teorema de la envoltura dice que $\frac{d}{dq}c(q)=\lambda$ . Además, $c_1'(q_1^m(q))=c_2'(q_2^m(q))=\lambda$ . Por lo tanto, $\frac{d}{dq}c(q)=c_1'(q_1^m(q))=c_2'(q_2^m(q))$ . Por último, con $q=\hat{q}$ tenemos

$$\frac{d}{dq}c(\hat{q})=c_1'(\hat{q}_1)=c_2'(\hat{q}_2)$$