¿Podría alguien ayudarme a derivar/entender cómo podemos derivar $E[X^2]-E[X]^2$ de $E[(X-E(X))^2]$ en la fórmula de la varianza de una variable aleatoria $X$ ?
Escribo la fórmula a continuación:
$Var(X)=E[(X-E(X))^2]=E[X^2]-E[X]^2$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$$E[(X-E[X])^2]$$
Dejamos de lado la cuadrática,
$$E[X^2 -2XE[X]+(E[X])^2]$$
Aplicamos la expectativa a cada término,
$$E[X^2] -2E[XE[X]]+(E[X])^2$$
En la pieza central, $E[X]$ es un número constante que se puede sacar de la expectativa.
$$E[X^2] -2E[X]E[X]+(E[X])^2$$
Tenemos que $E[X]E[X]=(E[X])^2$
$$E[X^2] -2(E[X])^2+(E[X])^2$$
Hemos terminado, $$E[X^2] -(E[X])^2$$
