¿Dónde se cruzan los costes a corto y largo plazo si $k$ ¿está arreglado?

Question

Supongamos que la función de costes a corto plazo se escribe como $SC(\bar{w}, \bar{r}, y, k)$ y la función de costes a largo plazo como $C(\bar{w},\bar{r},y)$ donde las tasas $w$ y $r$ son fijos. $y$ determina la cantidad de producción y $k$ es el capital que se puede fijar a corto plazo.

Para una mayor definición: $SC(w,r,y,\bar{k}) = \underset{l}{\min}(wl + r\bar{k})$ con sujeción a $f(l,\bar{k}) = y$ y $C(w,r,y) = \underset{l,k}{\min}(wl + rk)$ con sujeción a $f(l,k) = y$ .

Supongamos que el capital se fija en $k = \bar{k}$ . ¿Cuál es la cantidad $y$ para la que la curva de costes a corto plazo es tangente a la curva de costes a largo plazo ?

En otras palabras, digamos que te dan la $SC(w,r,y,k)$ y $C(w,r,y)$ funciones. Y se le da $k = k_0$ (como en la imagen). Cómo encontrar $q_0$ (o el punto donde el $SAC(k_0)$ curva es tangente a la $LAC$ curva) en términos de $\bar{w}, \bar{r}, k_0$ ?

Edit: Creo que la forma es hacer una de las dos cosas:

1. Extraer la ecuación $k(y)$ de $\frac{\partial SC(\bar{w}, \bar{r}, k, y)}{\partial k} = 0$ . Sustituir $k = \bar{k}$ para encontrar $y$ .
2. Extraer el valor de $y$ de $\frac{\partial C(w,r,k)}{\partial w} = \bar{k}$ . Esto es lo que se desea $y$ .

Answer 1

Para calcular el nivel de producción $y_0$ de manera que las funciones de coste medio a corto y largo plazo sean iguales, comencemos con la relación entre $C$ y $SC$ (con abuso de anotaciones para que sean breves): $$ C(y) = \min_k CS(k,y) \leq CS(k,y) $$ que define el nivel óptimo de capital a largo plazo $k^*$ para lo cual $$ C(y) = CS(k^*(y),y). $$ En términos de costes medios, para cualquier $y>0$ : $$ \frac{C}{y}(y) = \frac{CS}{y}(k^*(y),y) \leq \frac{CS}{y}(k,y). $$ Esta desigualdad débil, así como la tangencia (cuando la desigualdad es vinculante) se ilustra en su figura. En el punto de tangencia, tenemos la igualdad entre el nivel de capital óptimo y el restringido: $$k^*(y)=k.$$ Si se quiere saber qué nivel de producción, si existe, es compatible con esta optimización del stock de capital, se puede encontrar invirtiendo esta última relación (si es posible), y encontrar: $$y_0=(k^*)^{-1}(k).$$ Como ejercicio, podríamos codificar y representar $C/y$ , $CS/y$ y $y_0$ para el caso Cobb-Douglas (por ejemplo), y reproducir la figura anterior.