Equilibrio Stackelberg con n+1 empresas

Question

Hay (n+1) empresas (Empresa 0, Empresa 1, ..., Empresa n) en un mercado de un bien donde $n \ge 2$ . El precio en el mercado viene dado por la ecuación de demanda inversa $P = 100 - \sum_{i=0}^n q_i$ , donde $\sum_{i=0}^n q_i$ es la producción total del mercado y $q_i$ ; es la cantidad producida por la empresa i. Para simplificar, supongamos que el coste es 0 para cada empresa. Las empresas eligen sus cantidades como sigue: (1) La empresa 0 elige su nivel de producción $q_0$ (2) Tras observar la elección de la empresa 0, las restantes n empresas eligen simultáneamente sus productos. Cada empresa quiere maximizar sus beneficios. ¿Cuál es el equilibrio de Stackelberg para este mercado?

He encontrado SPNE={ $q_0^*=50$ , $q_i=50/(n-1)$ para todos $i\ge 1$

Pero no sé exactamente cómo puedo resolver esta cuestión.

Por favor, ayúdenme a resolver esta cuestión

Answer 1

Edit: No había visto que es un juego de dos etapas. Consideré un $n$ -stage game en mi respuesta anterior. Aquí está la nueva respuesta modificada:

La empresa líder se denomina $F_0$ y el siguiente $n$ empresas por $F_i$ donde $i = 1,2, \cdots, n$ .

Digamos que $F_0$ elige la cantidad $q_0$ . La segunda etapa es básicamente una competencia Cournot entre las empresas $F_1, \cdots, F_n$ . Vamos a resolver esto primero.

El beneficio de $F_i$ $(i > 0)$ es $\pi_i = (100 - Q)q_i$ que se maximiza en $q_i = \frac{1}{2} \left( 100 - Q_{-i} \right)$ donde $Q_{-i}$ denota $Q - q_{i}$ .

Claramente, el óptimo $q_i = 100 - Q$ lo que significa que todos son iguales (para $i > 0$ ). De ello se deduce que $q_i = 100 - q_0 - nq_i \implies q_i = \frac{100 - q_0}{n+1}$ $\forall \ i > 0$ .

El juego de la primera etapa se puede resolver ahora como $$q_0 = \text{argmax}[\pi_1(q_0)] = \text{argmax}[P(Q)q_0] = \text{argmax}\left[\left(\frac{100 - q_0}{n+1}\right)q_0\right] = 50$$

En consecuencia, las empresas restantes producen $\displaystyle q_i = \frac{50}{n+1}$ $(i > 0)$ .