Sé que la identidad de roy es: xmi(p,w)=−∂v∂pi∂v∂w pero no puedo entender por qué funciona. ¿por qué la fracción entre las derivadas parciales respecto a los precios y la renta nos da la curva de demanda marshalliana?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Así, la utilidad indirecta es simplemente ( p es un L×1 vector)
v(p,w)=u[x(p,w)] ,
A saber, la función de utilidad evaluada en la demanda marshalliana.
En primer lugar, observe que, si x(p,w) (que es un L×1 vector también) satisface la Ley de Walras:
p⋅x(p,w)=w (1)
Diferencie esto con respecto a w obtenemos:
L∑l=1∂xl(p,w)∂wpl=1 (2)
A partir de la UMP, sabemos que ∂u[x(p,w)]/∂xl=λpl , donde λ es el multiplicador de Lagrange.
Así,
∂v(p,w)∂w=L∑l=1∂u[x(p,w)]∂xl(p,w)∂[xl(p,w)]∂w=λL∑l=1∂[xl(p,w)]∂wpl=λ (3)
La última igualdad se deriva de (2)
Diferenciación de la Ley de Walras (1) por ejemplo pl (recordemos la regla del producto), obtenemos:
xl(p,w)+L∑k=1pk∂xk(p,w)∂pl=0 (4)
Ahora, diferencie v(p,w) por ejemplo pl :
∂v(p,w)∂pk=L∑k=1∂u[x(p,w)]∂xk(p,w)∂xk(p,w)∂pl=λL∑k=1pk∂xk(p,w)∂pl=−λxl(p,w)
¡Et voilà! La identidad de Roy está probada
xl(p,w)=−∂v(p,w)/∂pl∂v(p,w)/∂w