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¿cómo y por qué funciona la ecuación de Roy?

Sé que la identidad de roy es: {\displaystyle x_{i}^{m}(p,w)=-{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}} pero no puedo entender por qué funciona. ¿por qué la fracción entre las derivadas parciales respecto a los precios y la renta nos da la curva de demanda marshalliana?

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Ceri Puntos 11

Así, la utilidad indirecta es simplemente ( p es un L\times 1 vector)

v(p,w) = u[x(p,w)] ,

A saber, la función de utilidad evaluada en la demanda marshalliana.

En primer lugar, observe que, si x(p,w) (que es un L\times 1 vector también) satisface la Ley de Walras:

p\cdot x(p,w) = w \ \ \ (1)

Diferencie esto con respecto a w obtenemos:

\sum_{l=1}^{L}\frac{\partial x_l(p,w)}{\partial w}p_l = 1 \ \ \ (2)

A partir de la UMP, sabemos que \partial u[x(p,w)] / \partial x_l = \lambda p_l , donde \lambda es el multiplicador de Lagrange.

Así,

\begin{align} \frac{\partial v(p,w)}{\partial w} &= \sum_{l=1}^{L} \frac{\partial u[x(p,w)]}{\partial x_l(p,w)}\frac{\partial [x_l(p,w)]}{\partial w} \\ &= \lambda\sum_{l=1}^{L}\frac{\partial [x_l(p,w)]}{\partial w}p_l \\ &= \lambda \ \ \ (3) \end{align}

La última igualdad se deriva de (2)

Diferenciación de la Ley de Walras (1) por ejemplo p_l (recordemos la regla del producto), obtenemos:

x_l(p,w) + \sum_{k=1}^{L} p_k \frac{\partial x_k(p,w)}{\partial p_l} = 0 \ \ \ (4)

Ahora, diferencie v(p,w) por ejemplo p_l :

\begin{align} \frac{\partial v(p,w)}{\partial p_k} &= \sum_{k=1}^{L}\frac{\partial u[x(p,w)]}{\partial x_k(p,w)} \frac{\partial x_k(p,w)}{\partial p_l} \\ &= \lambda \sum_{k=1}^{L} p_k \frac{\partial x_k(p,w)}{\partial p_l} \\ &= -\lambda x_l(p,w) \end{align}

¡Et voilà! La identidad de Roy está probada

x_l(p,w) = -\frac{\partial v(p,w)/ \partial p_l}{\partial v(p,w) / \partial w}

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