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¿cómo y por qué funciona la ecuación de Roy?

Sé que la identidad de roy es: xmi(p,w)=vpivw pero no puedo entender por qué funciona. ¿por qué la fracción entre las derivadas parciales respecto a los precios y la renta nos da la curva de demanda marshalliana?

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Ceri Puntos 11

Así, la utilidad indirecta es simplemente ( p es un L×1 vector)

v(p,w)=u[x(p,w)] ,

A saber, la función de utilidad evaluada en la demanda marshalliana.

En primer lugar, observe que, si x(p,w) (que es un L×1 vector también) satisface la Ley de Walras:

px(p,w)=w   (1)

Diferencie esto con respecto a w obtenemos:

Ll=1xl(p,w)wpl=1   (2)

A partir de la UMP, sabemos que u[x(p,w)]/xl=λpl , donde λ es el multiplicador de Lagrange.

Así,

v(p,w)w=Ll=1u[x(p,w)]xl(p,w)[xl(p,w)]w=λLl=1[xl(p,w)]wpl=λ   (3)

La última igualdad se deriva de (2)

Diferenciación de la Ley de Walras (1) por ejemplo pl (recordemos la regla del producto), obtenemos:

xl(p,w)+Lk=1pkxk(p,w)pl=0   (4)

Ahora, diferencie v(p,w) por ejemplo pl :

v(p,w)pk=Lk=1u[x(p,w)]xk(p,w)xk(p,w)pl=λLk=1pkxk(p,w)pl=λxl(p,w)

¡Et voilà! La identidad de Roy está probada

xl(p,w)=v(p,w)/plv(p,w)/w

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