¿cómo y por qué funciona la ecuación de Roy?

Question

Sé que la identidad de roy es: ${\displaystyle x_{i}^{m}(p,w)=-{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}}$ pero no puedo entender por qué funciona. ¿por qué la fracción entre las derivadas parciales respecto a los precios y la renta nos da la curva de demanda marshalliana?

Answer 1

Así, la utilidad indirecta es simplemente ( $p$ es un $L\times 1$ vector)

$v(p,w) = u[x(p,w)]$ ,

A saber, la función de utilidad evaluada en la demanda marshalliana.

En primer lugar, observe que, si $x(p,w)$ (que es un $L\times 1$ vector también) satisface la Ley de Walras:

$p\cdot x(p,w) = w \ \ \ (1)$

Diferencie esto con respecto a $w$ obtenemos:

$$\sum_{l=1}^{L}\frac{\partial x_l(p,w)}{\partial w}p_l = 1 \ \ \ (2)$$

A partir de la UMP, sabemos que $\partial u[x(p,w)] / \partial x_l = \lambda p_l$ , donde $\lambda$ es el multiplicador de Lagrange.

Así,

$$\begin{align} \frac{\partial v(p,w)}{\partial w} &= \sum_{l=1}^{L} \frac{\partial u[x(p,w)]}{\partial x_l(p,w)}\frac{\partial [x_l(p,w)]}{\partial w} \\ &= \lambda\sum_{l=1}^{L}\frac{\partial [x_l(p,w)]}{\partial w}p_l \\ &= \lambda \ \ \ (3) \end{align}$$

La última igualdad se deriva de $(2)$

Diferenciación de la Ley de Walras $(1)$ por ejemplo $p_l$ (recordemos la regla del producto), obtenemos:

$$x_l(p,w) + \sum_{k=1}^{L} p_k \frac{\partial x_k(p,w)}{\partial p_l} = 0 \ \ \ (4)$$

Ahora, diferencie $v(p,w)$ por ejemplo $p_l$ :

$$\begin{align} \frac{\partial v(p,w)}{\partial p_k} &= \sum_{k=1}^{L}\frac{\partial u[x(p,w)]}{\partial x_k(p,w)} \frac{\partial x_k(p,w)}{\partial p_l} \\ &= \lambda \sum_{k=1}^{L} p_k \frac{\partial x_k(p,w)}{\partial p_l} \\ &= -\lambda x_l(p,w) \end{align}$$

¡Et voilà! La identidad de Roy está probada

$$x_l(p,w) = -\frac{\partial v(p,w)/ \partial p_l}{\partial v(p,w) / \partial w}$$